Odpowiedź:
Z obliczeń umieszczonych poniżej wynika, że długości boków tego trójkąta prostokątnego wynoszą:
[tex]a = 7\ cm, b = 10\ cm, c = \sqrt{149}\ cm[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Należy obliczyć długość boków trójkąta prostokątnego o podanym polu oraz wiedząc, że długości jego przyprostokątnych różnią się o 3cm.
Wypiszmy wszystkie informacje z zadania.
[tex]P = 35\ cm^2[/tex]
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
[tex]a[/tex] - długość jednej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego
[tex]b[/tex] - długość drugiej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego
Rysunek pomocniczy w załączniku.
Wtedy zgodnie z treścią zadania, możemy zapisać, że:
[tex]b = a + 3\ cm[/tex]
Przypomnijmy wzór na pole trójkąta prostokątnego, jeśli znamy długości jego przyprostokątnych:
[tex]P_{\Delta} = \frac{a \cdot b}{2}[/tex]
Uwaga! Jest to zwykły wzór na pole trójkąta, gdzie [tex]b = h[/tex]. Warto zauważyć, że drugą przyprostokątną możemy traktować również tak samo jak wysokość tego trójkąta (spełnia warunek - jest prostopadła do podstawy).
Możemy teraz zapisać, że:
[tex]P = \frac{a \cdot b}{2}[/tex]
Podstawiamy dane i otrzymujemy:
[tex]\frac{a \cdot (a+3)}{2} = 35| \cdot 2[/tex]
[tex]a(a+3) = 70[/tex]
Upraszczamy:
[tex]a^2+3a -70 = 0[/tex]
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe postaci [tex]\boxed{ax^2 + bx + c = 0}[/tex], więc:
[tex]a = 1, b = 3, c = -70[/tex]
Obliczamy pierwiastki równania przy pomocy wyróżnika równania kwadratowego tzw. "delty":
[tex]\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 +280 = 289[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} = \sqrt{289} = 17[/tex]
Rozwiązania:
Długość przyprostokątnych musi być wyrażona liczbą nieujemną, więc stawiamy odpowiedni warunek:
[tex]D: \ x_1,x_2 > 0[/tex]
[tex]x_1= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-3-17}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10 \ \ \not \in D[/tex]
[tex]x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3+17}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \in D[/tex]
Otrzymaliśmy odpowiedź, że:
Długość jednej przyprostokątnej wynosi:
[tex]a = x_2 = 7\ cm[/tex]
Obliczamy długość drugiej przyprostokątnej:
[tex]b = a + 3 = 7\ cm + 3\ cm = 10 \ cm[/tex]
Możemy sprawdzić, czy fatycznie obliczenia się zgadzają:
[tex]P = \cfrac{a \cdot b}{2}[/tex]
[tex]P = 35\ cm^2[/tex]
[tex]\cfrac{7\ cm \cdot 10\ cm}{2} = 35\ cm^2[/tex]
[tex]35\ cm^2 = 35\ cm^2[/tex]
[tex]L = P[/tex]
Wniosek: Obliczenia zostały wykonane poprawnie.
Pozostaje nam jeszcze obliczyć długość trzeciego boku tego trójkąta (przeciwprostokątna) - korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]a^2 + b^2 = c^2[/tex]
[tex]c^2 = (7\ cm)^2 + (10\ cm)^2[/tex]
[tex]c^2 = 49\ cm^2 + 100\ cm^2[/tex]
[tex]c^2 = 149\ m^2[/tex]
[tex]c = \sqrt{149\ cm^2} = \sqrt{149}\ cm[/tex]
Jeśli chcesz zobaczyć zadania podobnego typu, zajrzyj tutaj:
https://brainly.pl/zadanie/16662857
