Wyznacz wartości parametrów a i b tak,aby funkcja była ciąłga w zbiorze R. Wyznacz miejsca zerowe otrzymanej funkcji.

Wyznacz Wartości Parametrów A I B Takaby Funkcja Była Ciąłga W Zbiorze R Wyznacz Miejsca Zerowe Otrzymanej Funkcji class=

Odpowiedź :

Odpowiedź:

[tex]$\left \{ {{a=9} \atop {b=8}} \right.[/tex]

[tex]$f(x)=0 \iff x= - 2\vee x=-\frac{1}{4}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Warunek ciągłości funkcji w punkcie [tex]x = a[/tex] (należącym do jej dziedziny) :

[tex]$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/tex]

Będziemy rozpatrywali dwa punkty potencjalnie podejrzane o nieciągłość. Będą to:

[tex]x = -1 \wedge x = 3[/tex]

Dla pierwszego punktu mamy:
[tex]$\lim_{x \to -1^{-}} f(x)=\lim_{x \to -1^{-}} x^{2}-4=(-1)^{2}-4=-3[/tex]

[tex]$\lim_{x \to -1^{+}} f(x)=\lim_{x \to -1^{+}} a-|4x-b|=a-|4 \cdot (-1)-b|=a-|b+4|[/tex]

A zatem musi zachodzić równość:

[tex]a-|b+4|=-3[/tex]

Dla drugiego punktu mamy:

[tex]$\lim_{x \to 3^{-}} f(x)=\lim_{x \to 3^{-}} a-|4x-b|=a-|4 \cdot 3-b|=a-|b-12|[/tex]

[tex]$\lim_{x \to 3^{+}} f(x)=\lim_{x \to 3^{+}} x^{2}-4=3^{2}-4=5[/tex]

A zatem musi zachodzić równość:

[tex]$a-|b-12|=5[/tex]

Zatem otrzymujemy układ równań:

[tex]$\left \{ {{a-|b+4|=-3} \atop {a-|b-12|=5}} \right.[/tex]

Po odjęciu stronami:

[tex]|b-12|-|b+4|=-8[/tex]

Dla [tex]b \in (-\infty,-4)[/tex] mamy:

[tex]-(b-12)+b+4=-8[/tex]

[tex]16=-8[/tex]

[tex]b \in \varnothing[/tex]

Dla [tex]b \in \langle -4,12)[/tex] mamy:

[tex]-(b-12)-(b+4)=-8[/tex]

[tex]b-12 +b+4=8[/tex]

[tex]b=8 \in \langle -4,12)[/tex]

Dla [tex]b \in \langle 12, \infty)[/tex] mamy:

[tex]b-12-(b+4)=-8[/tex]

[tex]-16=-8[/tex]

[tex]b \in \varnothing[/tex]

Obliczamy [tex]a[/tex] :

[tex]a=5+|b-12|=5+|8-12|=9[/tex]

Zatem rozwiązaniem układu jest para liczb:

[tex]$\left \{ {{a=9} \atop {b=8}} \right.[/tex]

Miejsca zerowe funkcji:

Najpierw dla [tex]x \in (-\infty,-1) \cup (3,\infty)[/tex] :

[tex]f(x)=0 \iff x^{2}-0 \iff (x-2)(x+2) =0 \iff x=-2 \vee x=2[/tex]

Zatem z tego mamy tylko [tex]x=-2[/tex].

Dla [tex]x \in \langle -1,3\rangle[/tex] :

[tex]$f(x)=0 \iff 9-|4x-8|=0 \iff x=-\frac{1}{4} \vee x=\frac{17}{4}[/tex]

Z tego mamy tylko [tex]$x=-\frac{1}{4}[/tex] .