Przekątne równoległoboku - pole powierzchni, trójkąt (30,60,90).
- Konstruujemy rysunek pomocniczy (poniżej).
- Widzimy, że trójkąty, na jakie krótsza przekątna dzieli równoległobok to takie o kątach [tex]30^\circ,60^\circ,90^\circ[/tex]
- Mamy więc (zgodnie z zależnościami z "prawego rysunku"):
[tex]a = \frac{5\sqrt2}{\sqrt3} = \frac{5\sqrt6}{3}[/tex] - Stąd - korzystając ze wzoru na pole powierzchni trójkąta prostokątnego - pole równoległoboku jest równe:
[tex]P= 2 P_\triangle = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt6}{3} \cdot 5\sqrt2= \frac{50\sqrt{3}}{3}[/tex]
Trójkąt o kątach [tex]30^\circ,60^\circ,90^\circ[/tex] to połowa trójkąta równobocznego - stąd jego boki to:
- przeciwprostokątna równa długości odpowiadającego trójkąta równobocznego: [tex]x[/tex]
- przyprostokątna równa połowie tej długości (bo spodek wysokości dzieli podstawę trójkąta równobocznego na połowy): [tex]\frac{x}{2}[/tex]
- przyprostokątną równą wysokości odpowiadającego trójkąta równobocznego: [tex]\frac{x\sqrt{3}}{2}[/tex]
Stąd pole jego jest równe: [tex]\frac{x^2 \sqrt 3}{8}[/tex] (połowa pola powierzchni odpowiadającego trójkąta równobocznego)
