Odpowiedź:
1.
Suma n - wyrazów ciągu arytmetycznego Sn = S80 = n(a1 + an)/2 =
= 80(4 + 83)/2 = 40•87 = 3480
Sprawdzenie:
Obliczymy sumę
∑(od 1 do 83) = Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..., + n = n(n + 1)/2 dla n = 83, to
Sn = (1 + 2 + 3) + 4 + 5 + ..., + 83 = 83(83 + 1)/2 = 83•84/2 = 3486
i odejmiemy te wyrazy, które w naszym zadaniu nie występują:
3486 - (1 + 2 + 3) = 3480, co należało sprawdzić.
2.
an = 5•(2/3)^n =
= 5•an = 5•[2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729..., an] =
= 5•[2/3, (2/3)(2/3), (2/3)(2/3)², (2/3)(2/3)³, (2/3)(2/3)⁴, (2/3)(2/3)⁵, ..., an]
= 5•[a1, a1q, a1q², a1q³, a1q⁴, a1q⁵, ..., an = (a1)•q^{n - 1}], a1 = 2/3, q = 2/3
co należało wykazać.
Szczegółowe wyjaśnienie:
1.
an=n+3
4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., 81, 82, 83. ..., n+3
to a1 = 4, d = r = 1, n = 80, an = a80 = a1 + (n - 1)d = 4 + (80 - 1)•1 = 83,
an = a80 = 83,
Suma n - wyrazów ciągu arytmetycznego Sn = S80 = n(a1 + an)/2 =
= 80(4 + 83)/2 = 40•87 = 3480
Sprawdzenie:
Obliczymy sumę
∑(od 1 do 83) = Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..., + n = n(n + 1)/2 dla n = 83, to
Sn = (1 + 2 + 3) + 4 + 5 + ..., + 83 = 83(83 + 1)/2 = 83•84/2 = 3486
i odejmiemy te wyrazy, które w naszym zadaniu nie występują:
3486 - (1 + 2 + 3) = 3480, co należało sprawdzić.
1.
Wykaż że ciąg o wtórze na=5*(2/3)njest geometryczny
na=5*(2/3)n, to
an = 5•(2/3)•n = 10/3, 20/3, 30/3, 40/3..., ciąg arytmetyczny, więc na pewno chodzi o wyraz ogólny:
an = 5•(2/3)^n =
= 5•an = 5•[2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729..., an] =
= 5•[2/3, (2/3)(2/3), (2/3)(2/3)², (2/3)(2/3)³, (2/3)(2/3)⁴, (2/3)(2/3)⁵, ..., an]
= 5•[a1, a1q, a1q², a1q³, a1q⁴, a1q⁵, ..., an = (a1)•q^{n - 1}], a1 = 2/3, q = 2/3
co należało wykazać.
