Zadanie 1.
[tex]P(A)=\frac{1}{2}P(A')\\P(A)=\frac{1}{2}(1-P(A))\\P(A)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}P(A)\\P(A)+\frac{1}{2}P(A)=\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}P(A)=\frac{1}{2}\ |*\frac{2}{3}\\P(A)=\frac{1}{3}[/tex]
Odp: B
Zadanie 2.
Wykorzystamy ciąg arytmetyczny [tex]a_n=a_1+(n-1)r[/tex].
Liczby podzielne przez 11:
[tex]a_1=11\qquad r=11\qquad a_n=231\\231=11+(n-1)*11\\220=(n-1)*11\ |:11\\20=n-1\\n=21[/tex]
Liczby podzielne przez 7:
[tex]a_1=7\qquad r=7\qquad a_n=231\\231=7+(n-1)*7\\224=(n-1)*7\ |:7\\32=n-1\\n=33[/tex]
Liczby podzielne przez [tex]11*7=77[/tex].
[tex]a_1=77\qquad r=77\qquad a_n=231\\231=77+(n-1)*77\\154=(n-1)*77\ |:77\\2=n-1\\n=3[/tex]
Aby policzyć, ile jest liczb podzielnych przez 11 lub 7, musimy dodać, ile jest liczb podzielnych przez 11 i ile jest liczb podzielnych przez 7, a następnie odjąć, ile jest liczb podzielnych przez [tex]11*7=77[/tex] (dlatego że te liczby policzone byłyby dwukrotnie, jako podzielne przez 11 i podzielne przez 7).
Zatem szukane prawdopodobieństwo to
[tex]P=\frac{21+33-3}{234}=\frac{51}{234}=\frac{17}{78}[/tex]
Odp: A
Uwaga: Jeśli nawias z prawej strony przy zakresie liczb jest otwarty (a taki się wydaje, bo obraz jest niewyraźny), to liczba w mianowniku ułamka powinna być 233, a nie 234. I wtedy mamy błąd w treści zadania.
Zadanie 10.
[tex]\{3,4,5,6,7,8\}\qquad > 645[/tex]
Na pierwszym miejscu może stać tylko 6, 7 lub 8.
Jeśli na pierwszym miejscu stoi 7 lub 8, to mamy [tex]2*6*6=72[/tex] możliwości.
Jeśli na pierwszym miejscu stoi 6, to na drugim miejscu może stać 4, 5, 6, 7 lub 8.
Jeśli na drugim miejscu stoi 5, 6, 7 lub 8, to mamy [tex]1*4*6=24[/tex] możliwości.
Jeśli na drugim miejscu stoi 4, to mamy 3 możliwości (646, 647 lub 648).
Razem wszystkich możliwości jest
[tex]72+24+3=99[/tex]
Odp: B
