W zadaniu mamy informacje, że ciąg jest arytmetyczny i rosnący oraz, że:
[tex]a_3 + a_7 = 28[/tex]
Należy obliczyć wyraz piąty, czyli [tex]a_5[/tex].
Przypomnijmy, że w ciągu arytmetycznym różnica [tex](r)[/tex] między dwoma kolejnymi wyrazami jest stała oraz, że wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego ma postać:
[tex]a_n = a_1 + (n-1) \cdot r[/tex]
Przejdźmy teraz do przykładu z zadania, mamy równanie:
[tex]a_3 + a_7 = 28[/tex]
Pierwszy sposób:
Mamy tylko jedno równanie, więc należy zastąpić wyraz trzeci i wyraz siódmy wyrazem piątym, aby po podstawieniu otrzymać odpowiedź.
[tex]a_5 = a_3 + 2r \rightarrow a_3 = a_5 - 2r[/tex]
[tex]a_7 = a_5 + 2r[/tex]
Możemy teraz podstawić powyższe dane do równania:
[tex]a_3 + a_7 = 28[/tex]
czyli:
[tex]a_5 - 2r + a_5 + 2r = 28[/tex]
Po redukcji wyrazów podobnych dostaniemy:
[tex]2a_5 = 28|:2[/tex]
[tex]a_5 = 14[/tex]
Drugi sposób:
Korzystając z wzoru:
[tex]a_n = a_1 + (n-1) \cdot r[/tex]
Możemy zapisać, że:
[tex]a_3 = a_1 + (3-1) \cdot r = a_1 + 2r[/tex]
oraz:
[tex]a_7 = a_1 + (7-1) \cdot r = a_1 + 6r[/tex]
Podstawiamy teraz do równania z zadania:
[tex]a_3 + a_7 = 28[/tex]
Otrzymujemy:
[tex]a_1 + 2r + a_1 + 6r = 28[/tex]
Redukujemy wyrazy podobne:
[tex]2a_1 + 8r = 28| : 2[/tex]
[tex]a_1 + 4r = 14[/tex]
Czym jest człon po lewej stronie?
Tak, to wyraz piąty, ponieważ zgodnie z wzorem:
[tex]a_5 = a_1 + (5-1) \cdot r = a_1 + 4r[/tex]
Otrzymaliśmy w ten sposób równość:
[tex]a_5 = 14[/tex]
Odpowiedź: Wyraz piąty tego ciągu arytmetycznego wynosi [tex]14[/tex].
