Twierdzenie sinusów, pole trójkąta.
- Korzystamy z dwóch przydatnych wzorów:
- twierdzenia sinusów:
[tex]\frac{|BC|}{\sin |\angle A|} = 2R[/tex]
- wzoru na pole trójkąta (wiążącego kąty z promieniem okręgu opisanego):
[tex]P_\triangle = 2 R^2 \cdot \sin |\angle A| \cdot \sin |\angle B| \cdot \sin |\angle C|[/tex] - Łącząc powyższe dostajemy:
[tex]P_\triangle = 2 (\frac{|BC|}{2\sin |\angle A|}) ^2 \cdot \sin |\angle A| \cdot \sin |\angle B| \cdot \sin |\angle C|[/tex] - Podstawiamy wartości z treści zadania i przekształcamy:
[tex]P_\triangle = 2 (\frac{x}{2\sin \alpha}) ^2 \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma = \frac{x^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 sin \alpha}[/tex] - Z kolei korzystając z faktu, że:
[tex]\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma[/tex]
czyli
[tex]\sin \alpha = \sin (\beta + \gamma)[/tex] - Dostajemy finalny wzór.
Zadanie zostało rozwiązane jedynie przekształcając wzory (z tablic maturalnych). Warto zauważyć, że nie była nam potrzebna wartość promienia okręgu opisanego (którą zresztą teraz łatwo wyznaczyć):
[tex]R = \frac{x}{2 \sin (\beta + \gamma)}[/tex]
