Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ,którego przeciwprostokątna ma długość 10, a tangens jednego z kątów ostrych wynosi 1/2.

Tangens kąta to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi do długości przyprostokątnej przyległej kątowi. Skoro tangens wynosi [tex]\frac{1}{2}[/tex], to możemy przeciwległą przyprostokątną oznaczyć jako a, zaś drugą przyprostokątną jako 2a.

Policzmy a z tw. Pitagorasa.

[tex]a^2+(2a)^2=10^2\\a^2+4a^2=100\\5a^2=100\ |:5\\a^2=20\\a=\sqrt{20}=\sqrt{4*5}=2\sqrt5\\2a=2*2\sqrt5=4\sqrt5[/tex]

Zatem obwód to:

[tex]Obw = 2\sqrt5+4\sqrt5+10=6\sqrt5+10[/tex]

Catta1eyaviz Catta1eyaviz · Answer 2

z - przeciwprostokatna

x, y - przyprostokatne

[tex]tg\alpha=\frac12\\tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\\tg\alpha cos\alpha=sin\alpha\\\frac12cos\alpha=sin\alpha\\\\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\(\frac12cos\alpha)^2+cos^2\alpha=1\\\frac14cos^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\frac54cos^2\alpha=1 /*\frac45\\cos^2\alpha=\frac45\\cos\alpha=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5\\sin^2\alpha=1-\frac45\\sin^2\alpha=\frac15\\sin\alpha=\frac{\sqrt5}5[/tex]

[tex]sin\alpha=\frac{x}z\\\frac{\sqrt5}5=\frac{x}{10}\\\\x=\frac{10\sqrt5}5=2\sqrt5\\\\cos\alpha=\frac{y}z\\\frac{2\sqrt5}5=\frac{y}{10}\\y=\frac{20\sqrt5}5=4\sqrt5\\\\Ob=x+y+z\\Ob=2\sqrt5+4\sqrt5+10=6\sqrt5+10[/tex]