Jeśli przyjmiemy odcinek AB jako podstawę trójkąta, to odległość punktu C od prostej zawierającej ten odcinek będzie jego wysokością.
wtedy: P = 0,5·|AB|·h
Obliczamy długość boku AB:
[tex]|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\|AB|=\sqrt{(8-0)^2+(4-1)^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}[/tex]
Obliczamy długość wysokości ze wzoru na pole:
[tex]P=\frac12\,|AB|\cdot h\\\\10=\frac12\cdot\sqrt{73}\cdot h\qquad/:\frac{\sqrt{73}}2\\\\h=\dfrac{20}{\sqrt{73}}[/tex]
Wyznaczamy równanie prostej AB (korzystam ze wzoru na prostą przechodzącą przez dwa dane punkty, bo otrzymam od razu postać ogólną, ale można wyznaczyć równanie dowolnym sposobem i przekształcić do postaci ogólnej):
[tex](y-y_1)(x_2-x_1)-(y_2-y_1)(x-x_1)=0\\\\(y-1)(8-0)-(4-1)(x-0)=0\\\\(y-1)\cdot8-3x=0\\\\-3x+8y-8=0\qquad/\cdot(-1)\\\\3x-8y+8=0[/tex]
Punkt C leży na osi 0X, więc ma współrzędne: (x₀, 0)
Wyznaczamy wysokość jako odległość puntu C od prostej |AB|:
[tex]h=d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\\\3x-8y+8\quad\implies\quad A=3,\ \ B=-8,\ \ C=8\\(x_0,\ 0)\quad\implies\quad x_0=x_0,\ \ y_0=0\\\\h=\dfrac{|3\cdot x_0+(-8)\cdot0+8|}{\sqrt{3^2+(-8)^2}}=\dfrac{|3x_0+8|}{\sqrt{73}}[/tex]
Zatem:
[tex]\dfrac{|3x_0+8|}{\sqrt{73}}=\dfrac{20}{\sqrt{73}}\qquad/\cdot\sqrt{73}\\\\|3x_0+8|=20\\\\3x_0+8=20\qquad\vee\qquad3x_0+8=-20\\\\3x_0=12\quad/:3\quad\vee\qquad3x_0=-28\quad/:3\\\\{}\quad x_0=4\qquad\quad\ \vee\qquad\ x_0=-9\frac13[/tex]
Odp.: Pole trójkąta ABC jest równe 10 jeśli wierzchołek ma współrzędne:
[tex]\bold{\underline{\,(4,\ 0)\quad\ lub\ \quad(-9\frac13,\,0)\,}}[/tex]
