Optymalizacja - prostopadłościan.
- Na podstawie treści mamy równania:
[tex]abc = 60,75 [dm^3][/tex]
[tex]a=b < 6,75 [dm][/tex]
[tex]c < 6,75 [dm][/tex]
oraz koszty wykonania:
- podstawy [tex](10a)^2* 0,48[/tex] złotych
- ściany bocznej [tex]100ac * 0,36[/tex] złotych
gdzie wymiary [tex]a,b,c[/tex] są w [tex]dm^3[/tex] - Stąd (oznaczając [tex]c \equiv H[/tex] oraz [tex]b \equiv a[/tex]) mamy:
[tex]a^2H = 60,75\\H = 60,75 /a^2[/tex] - Zaś funkcja opisująca koszty wykonania (biorąc za argument [tex]a[/tex]):
[tex]f(a) = 2*100a^2 *0,48 + 4 * 100 aH*0,36 = \\=96a^2 + 144 a * 60,75/a^2 = 96 a^2 + 8748/a[/tex] - By znaleźć minimum liczymy pochodną:
[tex]f'(a) = 96*2a + 8748 * (-1 a^{-2}) = 192 a -8748/a^2[/tex]
którą przyrównujemy do zera:
[tex]192a - 8748/a^2 = 0\\a = 45,5625/a^2\\a^3 = 45,5625\\a \approx 3,5717 [dm][/tex] - Zaś stąd wysokość:
[tex]H \approx 4,7622 [dm][/tex]
Wzór na pochodną funkcji [tex]f(x) = a x^n[/tex] jest postaci: [tex]f'(x) = anx^{n-1}[/tex]
