Odpowiedź:
Długości krawędzi: [tex]4\sqrt{3}[/tex] oraz 9.
Pole powierzchni bocznej: [tex]108\sqrt{3}[/tex]
Objętość: [tex]108\sqrt{3\\}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wiemy, że pole powierzchni jednej ściany bocznej (Pś) jest trzy razy większe od pola podstawy, możemy zatem zapisać że
Pś = 3 * Pp
Na pole powierzchni całkowitej składają się dwa pola podstawy i pole boczne, co możemy zapisać:
Pc = 2Pp + Pb
w naszym przypadku z kolei na pole boczne składają się trzy takie same ściany. Pole powierzchni każdej z nich jak mówiliśmy wcześniej możemy zapisać za pomocą 3 * Pp. Po obliczeniach (załącznik) otrzymujemy więc
Pc = 11Pp
Teraz możemy porównać tę wartość do pola powierzchni całkowitej podanej w zadaniu i otrzymujemy, że Pp = [tex]12\sqrt{3\\}[/tex]
Wiemy że na pole powierzchni bocznej składają się trzy ściany, a więc
Pb = 3*Pś
Wiemy także, że każde Pś możemy przedstawić jako 3*Pp, dlatego finalnie
Pb = 3 * 3Pp = [tex]108\sqrt{3}[/tex]
Dalej przechodzimy do obliczania długości krawędzi. W podstawie mamy trójkąt równoboczny. Wzór na jego pole to
[tex]\frac{a^{2}\sqrt{3} }{4}[/tex]
gdzie a oznacza długość boku trójkąta (na obrazku zaznaczone jako x).
Znamy pole powierzchni trójkąta z zadania (jest to Pp), więc możemy ułożyć równanie, z którego wyliczamy x (jedną z krawędzi graniastosłupa).
Znając x oraz Pś możemy policzyć y.
Ściana boczna jest prostokątem, a więc wzór na jego pole to x * y.
Układamy zatem równanie pamiętając, że Pś to 3 * Pp (które już znamy). W wyniku działań otrzymujemy drugą krawędź graniastosłupa (y = 9).
Do policzenia objętości korzystamy ze wzoru
V = Pp * H
w naszym przypadku H (wysokość graniastosłupa) to y.
Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy [tex]108\sqrt{3}[/tex].
