Odpowiedź:
Granica jest równa 14.
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n^3+3n}{n^2+2}-\dfrac{n^2+7n}{n+21}\right)[/tex]
Sprowadzam do wspólnego mianownika:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n^3+3n)\cdot(n+21)-(n^2+7n)\cdot(n^2+2)}{(n^2+2)\cdot(n+21)}[/tex]
Wymnażam:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n^4+21n^3+3n^2+63n)-(n^4+7n^3+2n^2+14n)}{(n^2+2)\cdot(n+21)}[/tex]
Odejmuję i wymnażam mianownik:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{14n^3+n^2+49n}{n^3+21n^2+2n+42}[/tex]
Dzielę licznik i mianownik przez [tex]n^3[/tex]
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{14+\dfrac{1}{n}+\dfrac{49}{n^2}}{1+\dfrac{21}{n}+\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{42}{n^3}}[/tex]
Wszystkie wyrazy poza pierwszymi w liczniku i mianowniku dążą do zera, więc granica jest równa:
[tex]\dfrac{14+0+0}{1+0+0+0}=14[/tex]
