Odpowiedź:
[tex]r=10-2,5\sqrt7[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Policzmy długość BC z tw. cosinusów.
[tex]|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2-2|AB||AC|\cos\alpha\\|BC|^2=(15\sqrt3)^2+(5\sqrt3)^2-2*15\sqrt3*5\sqrt3*\cos60^\circ\\|BC|^2=225*3+25*3-150*3*\frac{1}{2}\\|BC|^2=675+75-225\\|BC|^2=525\\|BC|=\sqrt{525}=5\sqrt{21}[/tex]
Policzmy pole trójkąta ABC.
[tex]P=\frac{1}{2}|AB||AC|\sin\alpha\\P=\frac{1}{2}*15\sqrt3*5\sqrt3*\sin60^\circ=\frac{75}{2}*3*\frac{\sqrt3}{2}=\frac{225\sqrt3}{4}[/tex]
Skorzystamy ze wzoru
[tex]P=pr[/tex]
Policzmy połowę obwodu.
[tex]p=\frac{1}{2}*(15\sqrt3+5\sqrt3+5\sqrt{21})=\frac{1}{2}*(20\sqrt3+5\sqrt{21})=10\sqrt3+\frac{5}{2}\sqrt{21}[/tex]
Policzmy r.
[tex]r=\frac{P}{p}=\frac{\frac{225\sqrt3}{4}}{10\sqrt3+\frac{5}{2}\sqrt{21}}=\frac{225\sqrt3}{4}*\frac{1}{10\sqrt3+\frac{5}{2}\sqrt{21}}=\frac{225\sqrt3}{40\sqrt3+10\sqrt{21}}=\frac{45}{8+2\sqrt{7}}*\frac{8-2\sqrt{7}}{8-2\sqrt{7}}=\\=\frac{360-90\sqrt{7}}{64-28}=\frac{360-90\sqrt{7}}{36}=10-2,5\sqrt7[/tex]
