Odpowiedź:
[tex]P_{max}=45\ \ \text{dla}\ x=3[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]P(x)=-x^4+4x^3-2x^2+12x[/tex]
Liczymy pochodną funkcji.
[tex]P'(x)=-4x^3+12x-4x+12[/tex]
Szukamy miejsc zerowych pochodnej w celu znalezienia x, w których mogą być ekstrema.
[tex]P'(x)=0\\-4x^3+12x^2-4x+12=0\ |:(-4)\\x^3-3x^2+x-3=0\\x^2(x-3)+(x-3)=0\\(x-3)(x^2+1)=0[/tex]
Drugi nawias jest zawsze dodatni, więc
[tex]x-3=0\\x=3[/tex]
Sprawdzamy, w jakich przedziałach pochodna jest dodatnia (wtedy funkcja jest rosnąca) i ujemna (wtedy funkcja jest malejąca).
[tex]P'(x) > 0\\-4x^3+12x^2-4x+12 > 0\ |:(-4)\\x^3-3x^2+x-3 < 0\\x^2(x-3)+(x-3) < 0\\(x-3)(x^2+1) < 0\\x-3 < 0\\x < 3\\x\in(-\infty,3)\\P'(x) < 0\\x\in(3,+\infty)[/tex]
Zatem pochodna w x = 3 zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc w x = 3 jest maksimum lokalne wynoszące
[tex]P(3)=-3^4+4*3^3-2*3^2+12*3=-81+108-18+36=45[/tex]
