Odpowiedź:
Okrąg ma równanie:
[tex]x^2 +y^2 +6x +4y -12 = 0[/tex]
Przekształcamy do postaci:
[tex](x+3)^2 +(y+2)^2 = 25[/tex]
Odczytujemy współrzędne wierzchołka S = (-3,-2)
Bok prostokąta zawiera się w prostej k: 2x+y - 2 = 0
Postać kierunkowa: [tex]y = -2x +2[/tex]
Wyliczamy współrzędne przecięcie prostej oraz okręgu rozwiązując układ równań. Za y wstawiam prostą
[tex](x+3)^2 +(-2x+2 +2)^2 = 25\\x^2 +6x +9 +16 -16x +4x^2 = 25\\5x^2 -10x = 0 \\5x(x-2) = 0\\x_a = 0; x_b = 2[/tex]
Są to współrzędne dwóch punktów, dla których trzeba wyliczyć odpowiednie y.
[tex]y_a = 2; y_b = -2[/tex]
Otrzymujemy dwa punkty prostokąta
A(0,2) oraz B(2,-2)
Do wyznaczenia kolejnych punktów wykorzystam fakt, że środek okręgu jest środkiem przekątnej prostokąta, zatem:
[tex]S = (\frac{x_a+x_c}{2} ; (\frac{y_a+y_c}{2})\\\frac{0+x_c}{2} = -3\\x_c = -6\\\frac{2+y_c}{2} = -2\\y_c = -6[/tex]
C = (-6,-6)
Analogicznie dla D podstawiamy punkt B.
[tex]\frac{2+x_d}{2} = -3\\x_d = -8[/tex]
[tex]\frac{-2+y_d}{2} = -2\\y_d = -2[/tex]
D =(-8,-2)
To teraz stosunki pól :))
Pole prostokąta:
[tex]P = |AB| *|CB|[/tex]
[tex]|AB| = \sqrt{(0-2)^2+(2+2)^2} = \sqrt{4+16} = 2\sqrt{5} \\|CB| = \sqrt{(-6-2)^2+(-6+2)^2} = \sqrt{64+16} = 4\sqrt{5}[/tex]
[tex]P_p = 2\sqrt{5} * 4\sqrt{5} = 40[/tex]
Pole koła opisanego na prostokącie:
No to jest po prostu pole koła, w który wpisany jest ten prostokąt, a znamy już jego równanie. Z równania okręgu odczytujemy, że promień okręgu jest równy
[tex]r = 5\\P_k = \pi 5^2 = 25\pi[/tex]
Więc w końcu można policzyć :)
[tex]\frac{P_k}{P_p} = \frac{25\pi }{40} = \frac{5}{8} \pi[/tex]
Pozdrawiam :))
