Długości boków AB i AC pozostają w stosunku 2:3, więc długości te można zapisać jako
[tex]|AB|=2x\\|AC|=3x[/tex]
Punkt D jest środkiem boku AB, więc
[tex]|AD|=|DB|=\frac{1}{2}|AB|=x[/tex]
Skoro odcinki CD i BC są równe, to trójkąt DCB jest równoramienny, a jego wysokość CE poprowadzona na podstawę DB dzieli ją na dwie równe części. Zatem
[tex]|DE|=\frac{1}{2}|DB|=\frac{1}{2}x[/tex]
Trójkąt AEC jest prostokątny, więc policzmy cosinus kąta przy wierzchołku A.
[tex]\cos\alpha=\frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AD|+|DE|}{|AC|}=\frac{x+\frac{1}{2}x}{3x}=\frac{\frac{3}{2}x}{3x}=\frac{3}{2}*\frac{1}{3}=\frac{1}{2}[/tex]
Skoro cosinus kąta alfa jest równy [tex]\frac{1}{2}[/tex], to kąt ten ma miarę
[tex]\alpha=60^\circ[/tex]
co kończy dowód.
