Witaj :)
Dany mamy ciąg:
[tex]\Large \boxed{a_n=\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{(n+2)(n+7)} }[/tex]
W liczniku zauważamy, że jest to suma kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r=2. Zapiszmy tę sumę inaczej:
[tex]a_1=1\\a_n=2n-1\\n=a_n=2n-1[/tex]
Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wygląda następująco:
[tex]\Large\boxed{S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n}[/tex]
Podstawmy pod wzór:
[tex]S_{2n-1}=\frac{1+2n-1}{2}\cdot (2n-1)\\ \\S_{2n-1}=\frac{2n(2n-1)}{2}\\ \\S_{2n-1}=\frac{4n^2-2n}{2}\\ \\S_{2n-1}=2n^2-n[/tex]
Więc nasz ciąg wygląda teraz tak:
[tex]\Large \boxed{a_n=\frac{2n^2-n}{(n+2)(n+7)} }[/tex]
Zapisujemy granicę:
[tex]\Large \boxed{ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2-n}{(n+2)(n+7)} }[/tex]
Zapiszmy inaczej mianownik:
[tex]\Large \boxed{ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2-n}{n^2+7n+2n+14}= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2-n}{n^2+9n+14} }[/tex]
Ponieważ zarówno w liczniku, jak i w mianowniku mamy wielomian, ponadto są one tego samego stopnia, więc granica będzie równa ilorazowi liczb, które stoją przy najwyższych potęgach "n", a zatem:
[tex]\Large \boxed{ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2-n}{n^2+9n+14} =\Big[\frac{2}{1}\Big]=2 }[/tex]
Więc:
[tex]\Huge \boxed{ \lim_{n \to \infty} \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{(n+2)(n+7)} =2}[/tex]
