Witaj :)
Trójmian postaci:
[tex]ax^2+bx+c[/tex]
ma dokładnie jeden pierwiastek, jeżeli wyróżnik tego trójmianu (delta) jest równa 0.
Dany mamy trójmian:
[tex]x^2-2mx+m-\frac{1}{4},\ gdzie:\\\\a=1\\b=-2m\\c=m-\frac{1}{4}[/tex]
Liczymy deltę:
[tex]\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-2m)^2-4\cdot 1\cdot (m-\frac{1}{4})\\ \Delta =4m^2-4m+1[/tex]
Delta ma być równa 0, więc:
[tex]4m^2-4m+1=0[/tex]
Rozwiązujemy powyższe równanie:
[tex]4m^2-4m+1=0\\(2m-1)^2=0\iff 2m-1=0\implies \boxed{m=\frac{1}{2} }[/tex]
Możemy zapisać, że:
[tex]m\in \{\frac{1}{2}\}[/tex]
ODP.: Powyższy trójmian ma dokładnie jeden pierwiastek dla [tex]m=\frac{1}{2}[/tex]
