Odpowiedź:
to cos A = - 1/2
"–", bo, bo przecież kąt jest rozwarty, α ∈ (90º, 180º), II ćwiartka,
a cos α jest dodatni tylko w I ćwiartce (jak wszystkie funkcje) i w IV ćwiartce - dlatego tylko cos (- α) = cos α.
a więc wzorami redukcyjnymi redukujemy kąt (180º - α) do kąta ostrego to cos (180º – α) = – cos α = – 1/2 to cos α = 1/2
a cos 60º = sin 30 = 1/2 to Odpowiedź:
Szukany kąt rozwarty A = (180º – α) = (180º – 60) to A = 120º
2.
Odpowiedź:
Pole trójkąta ABC: P = (1/2)•6•10•sin 60 = (1/2)•6•10•√3/2 = (60/4)√3
to P = 15√3
Szczegółowe wyjaśnienie:
1.
Jak ja lubię te tw. cosinusów, bo wcale nie musimy wiedzieć, jaki to jest trójkąt. Największy kąt leży na przeciw najdłuższego boku.
a² = b² + c² - 2bccos A, gdzie: a = 14, b = 6, c = 10, A = szukamy tego kąta.
Możemy zauważyć, że dla trójkąta prostokątnego, kąt A = 90º,
to cos 90º = 0 i nasze cosinusy przechodzą w tw. Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych - a więc tw. Cosinusów jest "uogólnionym" tw. Pitagorasa na wszystkie trójkąty - a szczególnie przydatne na trójkąty dowolne.
A więc mamy: a² = b² + c² - 2bccos A, to 14² = 6² + 10² - 2•6•10•cos A
to 196 = 36 + 100 - 120cos A to 120cos A = 136 - 196 = - 60 to
120cos A = - 60 /:120 to cos A = - 60/120 to cos A = - 1/2
"–", bo, bo przecież kąt jest rozwarty, α ∈ (90º, 180º), II ćwiartka,
a cos α jest dodatni tylko w I ćwiartce (jak wszystkie funkcje) i w IV ćwiartce - dlatego tylko cos (- α) = cos α.
a więc wzorami redukcyjnymi redukujemy kąt (180º - α) do kąta ostrego to cos (180º – α) = – cos α = – 1/2 to cos α = 1/2
a cos 60º = sin 30 = 1/2 to Odpowiedź:
Szukany kąt rozwarty A = (180º – α) = (180º – 60) to A = 120º
2. Oblicz pole trójkąta ABC
Spuścimy wysokość h z wierzchołka A na podstawę BC = a = 14
Wychodząc z "klasycznego" wzoru na pole trójkąta P = ah/2
gdzie AB = b = 6, oraz z funkcji: h/b = sin B /•b to h = bsin B
i podstawiamy h do P, to mamy: P = a(bsin B)/2 to P = (1/2)absin B
Czytam tylko ten nowy wzór na pole trójkata:
"Pole każdego trójkąta możemy obliczyć z połowy iloczynu dwóch jego
boków i sinusa kąta między nimi zawartego"
Odnosiliśmy do kąta B - ale wzór jest ogólny, zastosujemy go do kąta A,
bo kąt A mamy - i znowu, nie musimy wiedzieć, jaki to jest trójkąt,
która to wysokość na który bok jest spuszczona - dla swojego użytku
jak tylko mam dwa boki i kąt między nimi, to tylko z tego wzoru liczę.
Odpowiedź:
Pole trójkąta ABC: P = (1/2)•6•10•sin 60 = (1/2)•6•10•√3/2 = (60/4)√3
to P = 15√3
