Prawdopodobieństwo - losowanie liczb ze zbioru.
(A)
- Przy pierwszym losowaniu liczby k nie wylosujemy z prawdopodobieństwem [tex]\frac{n-1}{n}[/tex]
- Ponieważ losujemy bez zwracania - przy kolejnym z [tex]\frac{n-2}{n-1}[/tex]
- Analogicznie przy k-tym: [tex]\frac{n-k}{n-k+1}[/tex]
- Stąd prawdopodobieństwo, że nie wylosowałyśmy przy żadnym:
[tex]p_k=\frac{n-1}{n}*\frac{n-2}{n-1} * \ldots * \frac{n-k}{n-k+1} = \frac{n-k}{n}[/tex]
(B)
- Innymi słowy:
- (k-1) razy nie możemy wylosować liczby [tex]k[/tex],
- zaś przy k-tym losowaniu - musimy. - Pierwszą część zrealizować możemy (zgodnie z pkt. A) z prawdopodobieństwem:
[tex]p_{k-1} = \frac{n-k+1}{n}[/tex] - Zaś przy k-tym losowaniu musimy wylosować k: możemy to zrobić na jeden sposób i z prawdopodobieństwem [tex]\frac{1}{n-k+1}[/tex]
- Czyli:
[tex]p=p_{k-1} * \frac{1}{n-k+1} = \frac{1}{n}[/tex]
(C)
- Ciąg monotoniczny możemy wybrać na [tex]2 {n \choose k}[/tex] sposobów - wybieramy kombinacje k-elementowe bez powtórzeń ze zbioru n liczb naturalnych, a następnie porządkujemy je albo rosnąco albo malejąco (stąd "razy dwa").
- Zaś wszystkich możliwych ciągów jest [tex]{n \choose k} k![/tex] - wybieramy k kombinacji bez powtórzeń spośród n, a następnie wszelkie możliwe permutacji k-elementowego ciągu (kolejności losowań).
- Stąd prawdopodobieństwo wyboru ciągu monotonicznego wynosi:
[tex]p_{mono}=\frac{2}{k!}[/tex] - Jednak pozostaje jeszcze warunek na wylosowanie liczby k - jest ono równe "jeden" minus "prawdopodobieństwo, że k-elementowy ciąg nie zawiera k", stąd finalnie:
[tex]p=p_{mono} \cdot ( 1- p_k) = \frac{2}{k!} \frac{k}{n} = \frac{2}{n \cdot (k-1)!}[/tex]
Warto zapamiętać wzory (przy losowaniach z n-elementowego zbioru):
- k-elementowe kombinacje bez powtórzeń = [tex]{n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}[/tex]
(symbol po lewej nazywamy dwumianem Newtona) - k-elementowe kombinacje z powtórzeniami = [tex]n^k[/tex]
