Witaj :)
Mamy obliczyć wartość wyrażenia:
[tex](\sin\alpha-\cos\alpha)^2[/tex]
Zauważamy, że w wyrażeniu które mamy obliczyć znajduje się wzór skróconego mnożenia, a mianowicie:
[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]
Rozwińmy to wyrażenie za pomocą powyższego wzoru skróconego mnożenia:
[tex](\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha[/tex]
Po rozwinięciu wyrażenia zauważamy, że znajduje się tam "jedynka trygonometryczna:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]
Możemy więc zapisać:
[tex](\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1-2\sin\alpha\cos\alpha[/tex]
Przejdźmy teraz do tego, co wiemy z treści zadania:
[tex]\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
Podnieśmy to wyrażenia obustronnie do kwadratu pamiętając, aby lewą stronę wziąć w nawias:
[tex](\sin\alpha+\cos\alpha)^2=(\frac{1}{\sqrt{3}})^2[/tex]
Teraz również zauważamy wzór skróconego mnożenia:
[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]
Rozwińmy nasze wyrażenie za pomocą tego wzoru:
[tex](\sin\alpha+\cos\alpha)^2=(\frac{1}{\sqrt{3}})^2\\\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac{1}{3}\\[/tex]
Zauważamy również jedynkę trygonometryczną, wobec czego:
[tex]2\sin\alpha\cos\alpha+1=\frac{1}{3}[/tex]
Wyznaczmy z powyższej równości wartość 2sinαcosα:
[tex]2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{3}-1\\ 2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{2}{3}[/tex]
Teraz wróćmy do tego, co mamy wykonać. Mamy obliczyć wartość wyrażenia:
[tex](\sin\alpha-\cos\alpha)^2[/tex]
Doszliśmy do tego, że:
[tex](\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha[/tex]
Wiemy również, że:
[tex]2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{2}{3}[/tex]
Podstawmy to:
[tex](sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-(-\frac{2}{3})=1+\frac{2}{3}=\boxed{\frac{5}{3}}[/tex]
ODP.: Wartość wyrażenia (sinα-cosα)²=[tex]\frac{5}{3}[/tex].
