Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{P=8\sqrt3+24}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Patrz rysunek w załączniku.
Na początku obliczymy miarę trzeciego kąta.
Wiemy, że suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi 180°.
Stąd:
[tex]\alpha=180^o-(60^o+75^o)=180^o-135^o=45^o[/tex]
Skorzystamy z twierdzenia sinusów:
[tex]\dfrac{8}{\sin45^o}=\dfrac{y}{\sin60^o}\\\\\dfrac{8}{\frac{\sqrt2}{2}}=\dfrac{y}{\frac{\sqrt3}{2}}\\\\\dfrac{\sqrt2}{2}y=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot8\qquad|\cdot\sqrt2\\\\\dfrac{2}{2}y=4\sqrt6\\\\y=4\sqrt6[/tex]
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta:
[tex]P=\dfrac{1}{2}ac\sin\beta[/tex]
Podstawiamy:
[tex]a=8,\ b=4\sqrt6,\ \alpha=75^o\\\\\sin75^o=\sin(30^o+45^o)=\sin30^o\cos45^o+\sin45^o\cos30^o\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}[/tex]
[tex]P=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot4\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}=4\sqrt6\cdot(\sqrt2+\sqrt6)=4\sqrt{12}+4\cdot6\\\\=4\sqrt{4\cdot3}+24=4\cdot2\sqrt3+24=8\sqrt3+24[/tex]
