Zadanie 11.
Jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 lub 2, więc mamy 2 przypadki.
I przypadek: reszta jest 1
Taką liczbę można zapisać jako [tex]3k+1[/tex], gdzie [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex], więc
[tex](3k+1)^2=(3k)^2+2*3k*1+1^2=9k^2+6k+1=3(\underbrace{3k^2+2k}_{\in\mathbb{Z}})+1[/tex]
czyli reszta jest 1.
I przypadek: reszta jest 2
Taką liczbę można zapisać jako [tex]3k+2[/tex], gdzie [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex], więc
[tex](3k+2)^2=(3k)^2+2*3k*2+2^2=9k^2+12k+4=9k^2+12k+3+1=3(\underbrace{3k^2+4k+1}_{\in\mathbb{Z}})+1[/tex]
czyli reszta jest 1.
To kończy dowód.
Zadanie 12.
[tex]x=\frac{3}{2\sqrt3}+3=\frac{3}{2\sqrt3}*\frac{\sqrt3}{\sqrt3}+3=\frac{3\sqrt3}{2*3}+3=\frac{\sqrt3}{2}+3\\y=\sqrt{75}+3=\sqrt{25*3}+3=5\sqrt3+3\\x^2-2xy+y^2=(x-y)^2=\left[\left(\frac{\sqrt3}{2}+3\right)-\left(5\sqrt3+3\right)\right]^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}+3-5\sqrt3-3\right)^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}-5\sqrt3\right)^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{10\sqrt3}{2}\right)^2=\left(-\frac{9\sqrt3}{2}\right)^2=\frac{81*3}{4}=\frac{243}{4}=60\frac{3}{4}[/tex]
Zadanie 13.
[tex]4x^2-8xy+5y^2\geq 0\\(2x)^2-2*2x*2y+(2y)^2+y^2\geq 0\\(2x-2y)^2+y^2\geq 0[/tex]
Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze ≥ 0, więc suma dwóch kwadratów liczb rzeczywistych również jest ≥0.
To kończy dowód.
