Przekształcanie logarytmów.
- Z treści mamy wprowadzone oznaczenia:
[tex]\log_6 5=a\\\log_3 6=b[/tex]
zaś musimy znaleźć [tex]\log_{20} 12[/tex] - Możemy skorzystać z zamiany podstawy logarytmu dla podstawy logarytmu równej 3 (okaże się być to bardzo wygodne):
[tex]\log_{20} 12 = \frac{log_3 12}{log_3 20} =(*)[/tex] - Następnie skorzystamy z rozkładu logarytmu iloczynu na sumę logarytmów:
[tex](*) = \frac{\log_3 3 + \log_3 4}{\log_3 4 + log_3 5} = \frac{1 + \log_3 4}{\log_3 4 + log_3 5} = (*)[/tex]
pozostaje znaleźć wartości [tex]\log_3 4[/tex] oraz [tex]\log_3 5[/tex] - Mnożąc przez siebie logarytmy z treści dostaniemy: [tex]a*b=\log_6 5 * \log_3 6 = \frac{\log_3 5}{\log_3 6} * \log_3 6 =\log_3 5[/tex]
- Zaś przekształcając drugi z logarytmów na sumę:
[tex]b= \log_3 6 = \log_3 (3*2) = \log_3 3 +\log_3 2 = 1+ \log_3 2\\\log_3 2 = b-1\\\log_3 2^2 = 2(b-1)\\\log_3 4 = 2b-2[/tex] - Finalnie dostajemy:
[tex](*) = \frac{1 + 2b-2}{2b-2 + ab} =\frac{2b-1}{ab+2b-2}[/tex]
Do zapamiętania wzory na przekształcanie logarytmów:
- [tex]\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}[/tex]
dla [tex]a > 0 ,a \ne 1[/tex] (wybieramy tak, by było wygodnie) - [tex]\log_a x^n = n \log_a x[/tex]
- [tex]\log_p xy = \log_p x + \log_p y[/tex]
