Rozwiązane

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w trzykrotnym rzucie sześcienną symetryczną kostką do gry wypadną takie liczby oczek, że suma ich trzecich potęg będzie podzielna przez 9.

Odpowiedź :

Sappho24680viz

Prawdopodobieństwo, rzut sześcienną kostką do gry.

  1. Kostką rzucamy trzykrotnie, każdorazowo może wypaść cyfra ze zbioru [tex]\{1,2,3,4,5,6\}[/tex], każda z prawdopodobieństwem [tex]\frac{1}{6}[/tex]
  2. Następnie podnosimy każdą z liczb oczek do trzeciej potęgi, sumujemy i patrzymy na resztę z dzielenia przez 9 - jeśli wynosi 0 - uwzględniamy daną kombinację oczek.
  3. Liczby ze zbioru powyższego podniesione do trzeciej potęgi dają reszty z dzielenia przez 9:
    [tex]1^3 = 1 (mod\; 9)\\2^3 = 8 (mod\; 9)\\3^3 = 0 (mod\; 9)\\4^3 = 1 (mod\; 9)\\5^3 = 8 (mod\; 9)\\6^3 = 0 (mod\; 9)[/tex]
  4. Stąd interesują nas jedynie takie sumy, które (biorąc trzy wartości (w trzech rzutach kostką)) biorą:
    * jedną cyfrę ze zbioru {1,4}
    * jedną cyfrę ze zbioru {2,5}
    * jedną cyfrę ze zbioru {3,6}
    wtedy suma ich trzecich potęg będzie podzielna przez 9.
  5. Jak wygląda losowanie?
    * w pierwszym rzucie wypada jakaś liczba oczek (z pewnego z powyższych trzech możliwych zbiorów) [tex]p_1=1[/tex]
    * w drugim musi wypaść liczba oczek z dwóch pozostałych zbiorów:
    [tex]p_2=4/6=2/3[/tex]
    * w trzecim musi wypaść liczba oczek z ostatniego ze zbiorów:
    [tex]p_3 = 2/6=1/3[/tex]
  6. Co daje nam prawdopodobieństwo równe:
    [tex]p=p_1*p_2*p_3 = 2/9[/tex]
  7. Należy dodatkowo rozpatrzyć przypadki wylosowania liczby oczek na kostkach:
    3,3,3 + 3,3,6 + 3,6,3 + 6,3,3 + 3,6,6 + 6,3,6 + 6,6,3 + 6,6,6
  8. Uwzględniając, prawdopodobieństwo zwiększy się o [tex]8/216 = 1/27[/tex]. Stąd finalnie: [tex]2/9 + 1/27 = 7/27[/tex]


Można to zadanie rozwiązać także rozpisując wszystkie możliwe takie układy cyfr, które spełniać będą żądaną zależność, a następnie dzielić przez moc zbioru: [tex]\Omega = 6*6*6 = 216[/tex]

Na podstawie jednak powyższego rozumowania zauważymy, że takich układów jest: [tex]A = \frac{7}{27}*216 =56[/tex]

Viz Inne Pytanie