Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego o podstawie prostokąta wynosi [tex]2(12+35\sqrt{3} )\,cm^2[/tex], zaś jego objętość to [tex]60\sqrt{3} \,cm^3.[/tex]
- Aby obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa musimy wyznaczyć jego wysokość.
- Wysokość graniastosłupa wyznaczymy, korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie to mówi, że suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego równa jest kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
- Na początek wyznaczmy przekątną podstawy:
[tex]d^2=(3\,cm)^2+(4\,cm)^2\\d=\sqrt{9\,cm^2+16\,cm^2}\\ d=\sqrt{25\,cm^2} \\d=5\,cm[/tex]
- Teraz bierzemy przekątną graniastosłupa i przekątną podstawy i również korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy wysokość graniastosłupa:
[tex](10\,cm)^2=H^2+(5\,cm)^2\\100\,cm^2=H^2+25\,cm^2\\75\,cm^2=H^2\\H=5\sqrt{3} \,cm^2[/tex]
- Teraz obliczmy pole powierzchni całkowitej. Składa się ono z: dwóch podstaw o wymiarach [tex]5\,cm\times 4\,cm[/tex], dwóch ścian o wymiarach [tex]5\sqrt{3}\,cm\times3\,cm[/tex] oraz dwóch ścian o wymiarach [tex]5\sqrt{3}\,cm\times 4\,cm[/tex]. Obliczmy ich pola:
[tex]P_1=4\,cm\cdot 3\,cm=12\,cm^2\\P_2=5\sqrt{3} \,cm\cdot 4\,cm=20\sqrt{3} \,cm^2\\P_3=5\sqrt{3} \,cm\cdot3\,cm=15\sqrt{3} \,cm^2[/tex]
- Teraz obliczmy pole całkowite:
[tex]P_c=2\cdot P_1 +2\cdot P_2 + 2\cdot P_3=2\cdot 12\, cm^2+2\cdot 20\sqrt{3} \,cm^2+2\cdot 15\sqrt{3} \,cm^2=24\,cm^2+40\sqrt{3} \,cm^2+30\sqrt{3} \,cm^2=24\,cm^2+70\sqrt{3} \,cm^2=2(12+35\sqrt{3} )\,cm^2[/tex]
- Oraz objętość graniastosłupa (którą obliczamy, mnożąc pole podstawy razy wysokość):
[tex]V=P_p\cdot H\\V=12\,cm^2\cdot 5\sqrt{3} \,cm^2=60\sqrt{3} \,cm^3[/tex]
