Odpowiedź:
a) Objętość ostrosłupa V = 15√3/2 cm³
b)
Objętość V = (1/3)P•H = 16•1/3 = 16/3 cm³ (= 15/3 + 1/3 = 1 cała i 1/3)
c)
Objętość V = (1/3)6√3•5 = 6√3•5/3 = 30√3/3 = 10√3 cm³
Szczegółowe wyjaśnienie:
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego
a) trójkątnego, Dane: a = 3 cm, H = 10 cm
Jeżeli w nazwie ostrosłupa (lub też graniastosłupa) występuje "prawidłowy", to znaczy, że podstawą ostrosłupa jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny, czyli równoboczny)
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku a = 4 cm. gdzie wysokość trójkąta h dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, podstawę na połowę (na a/2) oraz kąt przy wierzchołku na dwa kąty po 30º
Wysokość h wyznaczymy z funkcji:
h/a = sin 60 = cos 30 = √3/2 /•a to to h = a√3/2,
h podstawimy do "klasycznego" wzoru na pole P trójkąta, to mamy
P = ah/2 = a(a√3/2)/2 = a²√3•(1/2)•1/2 = a²√3•/4, gdzie bok trójkąta
a jest jednocześnie krawędzią podstawy.
Wzory podane na h i P są znanymi wzorami na wysokość i pole trójkąta równobocznego.
Objętość ostrosłupa V obliczamy z 1/3 iloczynu pola podstawy P i wysokości ostrosłupa H = 10 cm. to
V = (1/3)•(a²√3/4)•H = (1/3)•(3²√3/4)•10 = (3√3/4)•10 = 30√3/4
to: Odpowiedź:
Objętość ostrosłupa V = 15√3/2 cm³
b) czworokątnego. Dane: a = 4 cm, H = 1 cm
Podstawą jest kwadrat o boku a = 4 cm,
Pole podstawy P = a•a = 4•4 = 16 cm²
Odpowiedź:
Objętość V = (1/3)P•H = 16•1/3 = 16/3 cm³ (= 15/3 + 1/3 = 1 cała i 1/3)
c) sześciokątnego. Dane: a = 2 cm, H = 5 cm
Sześciokąt foremny (równoboczny składa się z 6-ciu trójkątów równobocznych, pole trójkąta wyprowadzono w przykładzie a)
to pole podstawy P = 6(a²√3/4) =6(2²√3/4) = 6√3
Odpowiedź
Objętość V = (1/3)6√3•5 = 6√3•5/3 = 30√3/3 = 10√3 cm³
