1) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n, kwadrat liczby a = 7n + 3 przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2.

2) Spośród wszystkich liczb trzycyfrowych naturalnych dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba będzie nieparzysta
i w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra 5 i dokładnie jedna cyfra 4.

Mamy liczbę naturalną [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]
oraz [tex]a= 7n+3[/tex]
Stąd kwadrat:
[tex]a^2 = (7n+3) ^2 = 49n^2+21n+9 = 7(7n^2+3n+1) +2[/tex]
Czyli widzimy, że powyższa liczba daje resztę przy dzieleniu przez 7 równą 2.

ZAD.2

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych?
[tex]\Omega = 10^4-10^3 = 900[/tex]
Wszystkie liczby zawierające dokładnie jedną cyfrę 5 i dokładnie jedną cyfrę 4, to:
[tex]45x,54x, 4x5,5x4,x45,x54[/tex]
Z kolei nieparzyste spośród powyższych to:
- o nieparzystym (ale nierównym 5) [tex]x:[/tex] [tex]45x,54x[/tex] - tych jest 2*4=8
- o dowolnym (ale różnym od 4 i 5) [tex]x:[/tex] [tex]4x5,x45[/tex] - tych jest 2*8-1=15 (bo liczba nie może zaczynać się od zera)
Stąd dostajemy prawdopodobieństwo:
[tex]p = \frac{8+15}{900} = \frac{23}{900}[/tex]

Prawdopodobieństwo wydarzeń ze zbioru [tex]A[/tex] spośród zbioru możliwych zdarzeń [tex]\Omega[/tex] oznaczamy jako: [tex]p=\frac{|A|}{|\Omega|}[/tex]