Potęgi i pierwiastki.
Zad.11
Skorzystamy z twierdzeń:
[tex](a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\\\\\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n},\ b\neq0\\\\a^n\cdot a^m=a^{n+m}[/tex]
oraz z tego, że jeżeli wykładnik potęgi liczby ujemnej jest parzysty, to wynik jest dodatni.
[tex]A=\dfrac{\left(\frac{3}{4}\right)^6\cdot4^6}{1,5^6}=\left(\dfrac{\frac{3}{4}\cdot4}{1,5}\right)^6=\left(\dfrac{3}{1,5}\right)^6=2^6\\\\B=\left(\dfrac{0,1^3\cdot20^3}{(-1)^3}\right)^2=\left[\left(\dfrac{0,1\cdot20}{-1}\right)^3\right]^2=(-2)^{3\cdot2}=(-2)^6=2^6[/tex]
[tex]A+B=2^6+2^6=2\cdot2^6=2^{1+6}\\\\\huge\boxed{A+B=2^7}[/tex]
Zad.12
Obwód wielokąta, to suma długości wszystkich boków wielokąta.
Skorzystamy z twierdzenia i definicji pierwiastka kwadratowego:
[tex]\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\ \text{gdzie}\ a,b\geq0\\\\\sqrt{a}=b\iff b^2=a,\ \text{gdzie}\ a,b\geq0[/tex]
Pamiętamy również o tym, że dodać/odjąć możemy tylko ułamki tego samego stopnia i z tą samą liczbą podpierwiastkową.
[tex]L=2(\sqrt{18}+\sqrt8)+2(\sqrt{98}-\sqrt{32})\\\\=2(\sqrt{9\cdot2}+\sqrt{4\cdot2})+2(\sqrt{49\cdot2}-\sqrt{16\cdot2})\\\\=2(\sqrt9\cdot\sqrt2+\sqrt4\cdot\sqrt2)+2(\sqrt{49}\cdot\sqrt2-\sqrt{16}\cdot\sqrt2)\\\\=2(3\sqrt2+2\sqrt2)+2(7\sqrt2-4\sqrt2)\\\\=2\cdot5\sqrt2+2\cdot3\sqrt2\\\\=10\sqrt2+6\sqrt2\\\\\huge\boxed{L=16\sqrt2}[/tex]
Zad.13
Skorzystamy z twierdzenia i definicji pierwiastka sześciennego:
[tex]\sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}\\\\\sqrt[3]{a}=b\iff b^3=a[/tex]
[tex]a)\ \sqrt[3]{2,7}\cdot\sqrt[3]{80}=\sqrt[3]{2,7\cdot80}=\sqrt[3]{216}=6\\\\\huge\boxed{\sqrt[3]{2,7}\cdot\sqrt[3]{80}=6}[/tex]
[tex]b)\ \sqrt[3]{0,008}+\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=0,2+\dfrac{3}{2}=0,2+1,5=1,7\\\\\huge\boxed{ \sqrt[3]{0,008}+\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}} < 3}[/tex]
