Witaj :)
Jeśli mamy dany wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, takiej, że:
[tex]\Large \boxed{y=ax^2+bx+c,\ gdzie:\ a,b,c\in \mathbb R\ \wedge \ a\neq 0}[/tex]
Możemy taką funkcję sprowadzić do postaci kanonicznej, która wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{y=a(x-p)^2+q}[/tex]
Gdzie:
p,q - współrzędne wierzchołka paraboli.
Aby obliczyć współrzędne wierzchołka korzystamy ze wzorów:
[tex]\Large \boxed{p=-\frac{b}{2a} }\\\\\Large \boxed{q=-\frac{\Delta }{4a}=f(p) }[/tex]
Jak widzimy współrzędną "q" wierzchołka paraboli możemy obliczyć w bardzo prosty sposób, podstawiając w miejsce "x" wyliczoną współrzędną "p" wierzchołka.
[tex]y=-8x^2+64x-128x\\\\a=-8\\b=64\\c=-128[/tex]
[tex]p=-\frac{-64}{2\cdot(-8)}=-\frac{64}{(-16)}=4[/tex]
[tex]q=f(4)=-8\cdot 4^2+64\cdot 4-128=-8\cdot 16+256-128=-128+256-128=0[/tex]
Współrzędne wierzchołka wynoszą odpowiednio:
[tex]p=4\\q=0[/tex]
Postać kanoniczna wygląda następująco:
[tex]f(x)=-8(x-4)^2+0 \\\\\boxed{f(x)=-8(x-4)^2}[/tex]
[tex]y=-x^2+10x-25\\\\a=-1\\b=10\\c=-25[/tex]
Obliczam współrzędną "p" wierzchołka
[tex]p=-\frac{10}{2\cdot(-1)}=-\frac{10}{-2}=5[/tex]
[tex]q=f(5)=-5^2+10\cdot 5-25=-25+50-25=0[/tex]
Współrzędne wierzchołka wynoszą odpowiednio:
[tex]p=5\\q=0[/tex]
Postać kanoniczna wygląda następująco:
[tex]f(x)=-1(x-5)^2+0 \\\\\boxed{f(x)=-(x-5)^2}[/tex]
[tex]y=x^2-6x+5\\\\a=1\\b=-6\\c=5[/tex]
Obliczam współrzędną "p" wierzchołka
[tex]p=-\frac{-6}{2\cdot1}=-\frac{-6}{2}=3[/tex]
[tex]q=f(3)=3^2-6\cdot 3+5=9-18+5=-4[/tex]
Współrzędne wierzchołka wynoszą odpowiednio:
[tex]p=3\\q=-4[/tex]
Postać kanoniczna wygląda następująco:
[tex]f(x)=1(x-3)^2+(-4) \\\\\boxed{f(x)=(x-3)^2-4}[/tex]
