Witaj :)
Ciąg geometryczny to taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz tego ciągu różni się od poprzedniego o stałą wartość, zwaną ilorazem ciągu geometrycznego oznaczanego "q". Wzór ogólny takiego ciągu wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}[/tex]
Ponieważ kolejne wyrazy ciągu geometrycznego powstają przez pomnożenie wyrazu poprzedniego, przez iloraz "q", wzór na ten iloraz wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{q=\frac{a_{n+1}}{a_n} }[/tex]
Kolejnym potrzebnym wzorem będzie wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
[tex]\Large \boxed{S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q} }[/tex]
Wypiszmy dane z zadania:
[tex]a_1=\frac{2}{3} \\a_2=1[/tex]
W pierwszej kolejności musimy obliczyć iloraz tego ciągu:
[tex]\Large \boxed{q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_2}{a_1} =\frac{1}{\frac{2}{3} }=\frac{3}{2} }[/tex]
Znamy już iloraz ciągu, zatem możemy obliczyć sumę dwunastu początkowych wyrazów:
[tex]S_{12}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1-(\frac{3}{2})^{12} }{1-\frac{3}{2} }=\frac{2(1-(\frac{3}{2})^{12}) }{3(-\frac{1}{2}) } =\frac{2-\frac{3^{12}}{2^{11}} }{-\frac{3}{2} }=(2-\frac{3^{12}}{2^{11}})\cdot (-\frac{2}{3})=\boxed{-\frac{4}{3}+\frac{3^{11}}{2^{10}}}[/tex]
ODP.: Suma dwunastu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi [tex]-\frac{4}{3}+\frac{3^{11}}{2^{10}}[/tex].
