[tex]x^2-(m+2)x+m+5=0[/tex]
[tex]|x_1|+|x_2| \le 4[/tex]
Równanie posiada 2 pierwiastki różnego znaku gdy:
[tex]a \neq 0 \\ \Delta > 0\\ x _{1} \cdot x _{2} <0[/tex]
1.
[tex]a=1>0[/tex]
2.
[tex]\Delta > 0[/tex]
[tex]\Delta=[-(m+2)]^2-4\cdot1\cdot(m+5)=m^2+4m+4-4m-20=m^2-16[/tex]
[tex]m^2-16>0[/tex]
[tex](m+4)(m-4)>0[/tex]
[tex]m\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty)[/tex]
3.
[tex]x_1x_2<0[/tex]
[tex]\frac{c}{a}<0[/tex]
[tex]\frac{m+5}{1}<0[/tex]
[tex]m+5<0[/tex]
[tex]m<-5[/tex]
[tex]m\in(-\infty;-5)[/tex]
Z 1,2 i 3 otrzymujemy
[tex]m\in(-\infty;-5)[/tex]
Warunek
[tex]|x_1|+|x_2| \le 4\ \ \ |()^2[/tex]
[tex]|x_1|^2+2|x_1||x_2|+|x_2|^2 \le 16[/tex]
[tex]|x_1|^2+|x_2|^2+2|x_1x_2| \le 16[/tex]
[tex]x_1^2+x_2^2+2|x_1x_2| \le 16[/tex]
[tex](x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2+2|\frac{c}{a}| \le 16[/tex]
[tex](-\frac{b}{a})^2 - 2\frac{c}{a}+2|\frac{c}{a}| \le 16[/tex]
[tex](\frac{m+2}{1})^2 - 2\frac{m+5}{1}+2|\frac{m+5}{1}| \le 16[/tex]
[tex](m+2)^2 - 2(m+5)+2|m+5| \le 16[/tex]
[tex]m^2+4m+4 - 2m-10+2|m+5| -16\le 0[/tex]
[tex]m^2+2m-22+2|m+5| \le 0[/tex]
Dla [tex]m\in(-\infty;-5)[/tex] nierówność przyjmuje postać
[tex]m^2+2m-22-2(m+5) \le 0[/tex]
[tex]m^2+2m-22-2m-10\le 0[/tex]
[tex]m^2-32\le 0[/tex]
[tex](m+\sqrt{32}m-\sqrt{32}) \le 0[/tex]
[tex](m+4\sqrt{2})(m-4\sqrt{2}) \le 0[/tex]
[tex]m\in \left\langle-4\sqrt2;4\sqrt2 \right\rangle [/tex]
Po uwzględnieniu [tex]m\in(-\infty;-5)[/tex]
[tex]m\in \left\langle-4\sqrt2;-5\right) [/tex]
