Rozwiązanie:
[tex]x^{2}+2x^{2}y^{2}+y^{2}\geq 2(x^{2}y+xy^{2})[/tex]
[tex]x^{2}+2x^{2}y^{2}+y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2}\geq 0[/tex]
[tex]x^{2}(1+2y^{2}-2y)+x(-2y^{2})+y^{2}\geq 0[/tex]
[tex]\Delta_{x}=4y^{4}-4 \cdot (1+2y^{2}-2y) \cdot y^{2}=4y^{4}-4y^{2}-8y^{4}+8y^{3}=-4y^{4}+8y^{3}-4y^{2}[/tex]
Ponieważ [tex]1+2y^{2}-2y > 0[/tex] dla [tex]y \in \mathbb{R}[/tex], to wystarczy, że pokażemy, że [tex]\Delta \leq 0[/tex] dla każdego rzeczywistego [tex]y[/tex] (cała parabola nad osią [tex]OX[/tex] lub stykająca się z osią).
Mamy:
[tex]-4y^{4}+8y^{3}-4y^{2}\leq 0[/tex]
[tex]y^{4}-2y^{3}+y^{2}\geq 0[/tex]
[tex]y^{2}(y^{2}-2y+1)\geq 0[/tex]
[tex]y^{2}(y-1)^{2}\geq 0[/tex]
[tex](y(y-1))^{2}\geq 0[/tex]
Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, a więc skończyliśmy nasz dowód.
