Odpowiedź:
Największy wspólny dzielnik czyli NWD można obliczyć na kilka różnych sposobów. Z racji, że mamy małe liczby to skorzystamy z rozkładu ich na czynniki pierwsze
a)
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 \end{array} \end{matrix}[/tex]
i druga
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 120 & 2 \\ 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 \end{array} \end{matrix}[/tex]
Otrzymujemy [tex]2^2 \cdot 3^1[/tex] (Do potęgi pierwszej, ponieważ to 3/3 się nie liczy). Czyli mamy
[tex]2^2 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24\\\\\operator{NWD}(72,120) = 24[/tex]
b) Rozkładamy
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 \end{array} \end{matrix}[/tex]
i druga
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 \end{array} \end{matrix}[/tex]
Otrzymujemy
[tex]3^1 \cdot 5^1 = 15\\\\\operator{NWD}(45,60) = 15[/tex]
c) Tutaj mamy 3 liczby, więc najpierw skorzystajmy z takiej własności
[tex]\operator{NWD}(a,b,c) = \operator{NWD(\operator{NWD(a,b),c})}[/tex]
Czyli najpierw obliczamy NWD a,b a potem NWD wyniku i C. Zacznijmy
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 75 & 3 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 \end{array} \end{matrix}[/tex]
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 105 & 3 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 \end{array} \end{matrix}[/tex]
Otrzymujemy
[tex]5^1 \cdot 3^1 = 15\\\operator{NWD}(75,105) = 15[/tex]
Teraz obliczamy NWD dla 15 i 150.
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 \end{array} \end{matrix}[/tex]
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 150 & 3 \\ 50 & 2 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1\end{array} \end{matrix}[/tex]
Tutaj otrzymujemy również
[tex]3^1 \cdot 5^1 = 15\\\operator{NWD}(15,150) = 15[/tex]
Czyli zapisujemy
[tex]\operator{NWD}(75,105,150) = 15[/tex]
7. Najmniejsza wspólna wielokrotność czyli NWW. Tutaj znów mamy kilka sposobów obliczania tego, ale ponownie użyjemy rozkładania liczb. Zastosujemy tzw. "Algorytm NWW".
Rozkład na czynniki pierwsze to po prostu rozłożenie liczby jak przy NWD, a następnie zapisanie jej w postaci iloczynu tych liczb.
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 \end{array} \end{matrix}[/tex]
I teraz mamy liczby te po prawej stronie 2,2,3 Zapis w postaci iloczynu czynników pierwszych wygląda tak
[tex]12 = 2 \cdot 2 \cdot 3[/tex]
Zatem przejdźmy do następnej liczby.
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 16 & 2 \\ 8 & 2 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 \end{array} \end{matrix}[/tex]
Mamy liczby 2,2,2,2 czyli [tex]16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2[/tex]
Mamy już nasze iloczyny czynników. Teraz krok 2
Rozkład pierwszy czyli liczba 12 - Tam mamy liczbę 2, która jest tam dwa razy. Rozkład drugi (16), tutaj mamy liczbę 2 aż 4 razy. Czyli w rozkładzie drugim występuje ona 4 razy i tyle razy ją wypisujemy 2,2,2,2. Następnie mamy liczbę 3, która w rozkładzie pierwszym (12) występuje raz, oraz ani razu w drugim. Czyli wypisujemy ją raz, a więc mamy
2,2,2,2,3
Wykonujemy krok 3
[tex]2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48[/tex]
Czyli
[tex]\operator{NWW}(12,16) = 48[/tex]
Teraz mamy 3 liczby i rozkładamy wszystkie po kolei.
Krok pierwszy
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 10 & 2 \\ 5 & 5 \\ 1 \end{array} \end{matrix}[/tex]
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 \end{array} \end{matrix}[/tex]
[tex]\begin{matrix} \begin{array} {c|c} 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1\end{array} \end{matrix}[/tex]
Krok drugi algorytmu - Najwięcej występuje nam liczba 5, w trzecim rozkładzie.
Liczba 3 i 2 występuje po jeden raz w różnych rozkładach czyli otrzymujemy
5,5,3,2
Krok trzeci
[tex]5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 150\\\operator{NWW}(10,15,25) = 150[/tex]
Taka ciekawostka - Tutaj również moglibyśmy użyć po prostu zapisu
[tex]\operator{NWW}(a,b,c) = \operator{NWW}(\operator{NWW}(a,b),c)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie: