Odpowiedź:
Powierzchnia całkowita Pc składa się z podstawy i trzech ścian bocznych, to
Pc = P + 3Pb = 3√3 + 3√39 = 3(√3 + √39) (jednostek długości)²
Objętość ostrosłupa V (podobnie i stożka) obliczamy z jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości ostrosłupa H
V = (1/3)P•H = (1/3)3√3 • 2√3 = 2√9 = 2•3 (jednostek długości)³
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli w nazwie ostrosłupa (również i graniastosłupa) użyto nazwę "prawidłowy" - to znaczy, że podstawą ostrosłupa (graniastosłupa) jest wielokąt foremny - trójkątny, trójkątem foremnym jest tylko trójkąt równoboczny, kwadratowy - to tylko kwadrat, sześciokątny - to sześciokąt foremny, czyli równoboczny, ..., i tak dalej.
Co wiemy o trójkącie równobocznym:, że ma wszystkie boki równe a więc i kąty równe po 60º, że wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na połowę, czyli bok a dzieli na a/2, ale również i kąt przy wierzchołku dzieli na połowę, czyli na dwa kąty po 30º.
Dane:
Krawędź podstawy jest bokiem trójkąta równobocznego a = 2√3.
Kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy jest kątem między krawędzią boczną a wysokością trójkąta równobocznego, 60º
Wysokość trójkąta równobocznego h dzieli nam trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, z funkcji h/a = sin 60º = cos 30º = √3/2 to
h/a= √3/2 /•a to h = a√3/2 (znany wzór na wysokość h trójkąta
równobocznego), h = a√3/2 = (2√3)√3/2 = 2√9/2 = √9 = 3
Teraz skorzystamy z "klasycznego" wzoru na pole trójkąta P = ah/2
i podstawimy za h, to mamy: P = a( a√3/2)/2 = a²√3/4, (znany wzór na
pole trójkąta równobocznego) więc obliczymy:
Pole podstawy P = a²√3/4 = (2√3)²√3/4 = (4•3)√3/4 = 12√3/4 = 3√3
[(2√3)² = 2²√3² = 4√9 = 4•3 = 12, √9 = 3 bo 3² = 9]
to P = 3√3 i h = 3
Wysokość ostrosłupa H spuszczona na podstawę dzieli wysokość trójkąta równobocznego h na odcinki w stosunku 2 do 1.
Mamy h = 3, to właśnie będzie podzielona na odcinki 2 do 1.
Wysokość H, odcinek 2 i krawędź boczna k tworzą trójkąt
prostokątny, gdzie z funkcji H/2 = tg 60º = ctg 30º = √3 to
H/2 =√3 /•2 to H = 2√3
Wysokość H, odcinek 1 oraz wysokość ściany bocznej (oznaczymy przez h') tworzą trójkąt prostokątny, gdzie z tw. Pitagorasa obliczymy wysokość ściany bocznej (trójkąta równoramiennego) h', to mamy:
h'² = H² + 1² = (2√3)² + 1² = 4•3 + 1 = 13 to h' = √13 to
Pole ściany bocznej Pb = ah'/2 = (2√3)√13/2 = (√3)√13 = √39
Zbierzemy wyniki:
_______________________________________________
Krawędź podstawy jest bokiem trójkąta równobocznego a = 2√3.
h = a√3/2 = (2√3)√3/2 = 2√9/2 = √9 = 3
Pole podstawy P = a²√3/4 = (2√3)²√3/4 = (4•3)√3/4 = 12√3/4 = 3√3
[(2√3)² = 2²√3² = 4√9 = 4•3 = 12, √9 = 3 bo 3² = 9]
to P = 3√3 i h = 3
H/2 = tg 60º = ctg 30º = √3 to H/2 =√3 /•2 to H = 2√3
h'² = H² + 1² = (2√3)² + 1² = 4•3 + 1 = 13 to h' = √13 to
Pole ściany bocznej Pb = ah'/2 = (2√3)√13/2 = (√3)√13 = √39
____________________________________________
Powierzchnia całkowita Pc składa się z podstawy i trzech ścian bocznych, to
Pc = P + 3Pb = 3√3 + 3√39 = 3(√3 + √39) (jednostek długości)²
Objętość ostrosłupa V (podobnie i stożka) obliczamy z jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości ostrosłupa H
V = (1/3)P•H = (1/3)3√3 • 2√3 = 2√9 = 2•3 (jednostek długości)³
