W graniastoslupie prawidlowym trojkatnym wysokosc podstawy wynosi 3√3 a przekatna sciany bocznej ma dlugosc 10 Oblicz Objetosc i pole całkowite graniastosłupa. Proszę o pomoc

Odpowiedź :

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{V=72\sqrt3,\ P_c=144+18\sqrt3}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Rysunek poglądowy w załączniku.

DANE:

Graniastosłup prawidłowy trójkątny:

  • podstawa: trójkąt równoboczny
  • ściany boczne są przystającymi prostokątami

[tex]h=3\sqrt3[/tex] - wysokość podstawy

[tex]d=10[/tex] - przekątna ściany bocznej

SZUKANE:

[tex]V=\P_p\cdot H;\ P_c=2P_p+P_b[/tex]

WZORY:

[tex]h=\dfrac{a\sqrt3}{2}\\\\P_p=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\\\\P_b=L\cdot H=3aH[/tex]

Obliczamy długość boku trójkąta w podstawie (długość krawędzi podstawy):

[tex]\dfrac{a\sqrt3}{2}=3\sqrt3\qquad|\cdot2\\\\a\sqrt3=6\sqrt3\qquad|:\sqrt3\\\boxed{a=6}[/tex]

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość wysokości [tex]h[/tex]:

[tex]H^2+6^2=10^2\\H^2+36=100\qquad|-36\\H^2=64\to H=\sqrt{64}\\\boxed{H=8}[/tex]

Obliczamy [tex]P_p[/tex]:

[tex]P_p=\dfrac{6^2\sqrt3}{4}=\dfrac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3[/tex]

Obliczamy [tex]P_b[/tex]:

[tex]P_b=3\cdot6\cdot8=144[/tex]

Obliczamy [tex]V[/tex] i [tex]P_c[/tex]:

[tex]V=9\sqrt3\cdot8=72\sqrt3\\\\P_c=2\cdot9\sqrt3+144=144+18\sqrt3[/tex]

Zobacz obrazek Animaldk