Odpowiedź:
3. a)
Punkt o współrzędnej x = - 1 jest punktem minimum funkcji f(x)
f(- 1) = 1 - 3 - 9 + 1 = - 10
to punkt (x, f(x)) = (- 1, - 10) jest punktem minimum funkcji f(x)
Punkt o współrzędnej x = 3 jest punktem maksimum funkcji f(x)
f(3) = - 27 - 27 + 27 + 1 = - 26
to punkt (x, f(x)) = (3, - 26) jest punktem maksimum funkcji f(x)
b)
punkt (x, f(x)) = (4, - 13) jest punktem minimum funkcji f(x)
Szczegółowe wyjaśnienie:
3.
a)
f(x) = - x³ - 3x² + 9x + 1 to f'(x) = - 3x² - 6x + 9 = 0
[f'(x) = 0 to f(x) ma ekstremum] to rozwiązujemy równanie kwadratowe
f'(x) = - 3x² - 6x + 9 = 0, wyróżnik Δ = 36 + 108 = 144 to √Δ = 12
x1 = (6 - 12)/6 = - 1, x2 = (6 + 12)/6 = 3, [x1 i x2 są punktami ekstremum]
f''(x) = - 6x - 6 to f''(x1) = 6 - 6 = 0, f''(x2) = - 18 - 6 = - 24 < 0 to
Jeżeli f'(x) = 0 i f''(x) < 0 to f(x = 3) ma maksimum
Postać iloczynowa f'(x) = -3(x - 3)(x + 1) = 0 to f'(x) traktujemy jako nową funkcję, wykres paraboli f'(x) jest skierowany wierzchołkiem do góry, więc dla f'(x) > 0 dla x ∈ (- 1, 3) to f(x jest rosnąca
a dla x ∈ (- ∞, -1) f(x) jest malejąca i dla x ∈ (3, + ∞) f(x) jest malejąca
to: (po lewej stronie sąsiedztwa punktu x = - 1 f(x) jest malejąca,
a po prawej stronie sąsiedztwa punktu x = - 1 f(x) jest rosnąca) to
f(x) w punkcie x = - 1 ma minimum,
ostatecznie, odpowiedź:
Punkt o współrzędnej x = - 1 jest punktem minimum funkcji f(x)
f(- 1) = 1 - 3 - 9 + 1 = - 10
to punkt (x, f(x)) = (- 1, - 10) jest punktem minimum funkcji f(x)
Punkt o współrzędnej x = 3 jest punktem maksimum funkcji f(x)
f(3) = - 27 - 27 + 27 + 1 = - 26
to punkt (x, f(x)) = (3, - 26) jest punktem maksimum funkcji f(x)
b)
f(x) = x² - 8x + 3 to f'(x) = 2x - 8 = 0 to 2x = 8 to x = 4 jest punktem ekstremum f(x). Ponieważ współczynnik a = 1 > 0 to parabola skierowana jest wierzchołkiem do dołu, więc jest to punkt minimum funkcji f(x)
f(4) = 16 - 32 + 3 = - 13 to: Odpowiedź:
punkt (x, f(x)) = (4, - 13) jest punktem minimum funkcji f(x)
