Planimetria (trójkąt).
Środkowa trójkąta - odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
Środkowe trójkąta dzielą go na sześć trójkątów o równych polach.
[tex]P_1=P_2=P_3=P_4=P_5=P_6[/tex]
Twierdzenie o środkowych:
Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który dzieli jest w stosunku 2 : 1.
Na podstawie twierdzenia mamy:
[tex]|AS|=\dfrac{2}{3}|AD|\to|AS|=\dfrac{2}{3}\cdot12=8\\\\|BS|=\dfrac{2}{3}|BE|\to|BS|=\dfrac{2}{3}\cdot9=6[/tex]
Do wyliczenia wysokości h trójkąta ABS skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
a² + b² = c²
a, b - długości przyprostokątnych
c - długość przeciwprostokątnej
Otrzymujemy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}8^2=(10-x)^2+h^2\\6^2=x^2+h^2\end{array}\right[/tex]
skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}64=100-20x+x^2+h^2\\36=x^2+h^2&|\cdot(-1)\end{array}\right[/tex]
[tex]\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}64=100-20x+x^2+h^2\\-36=-x^2-h^2\end{array}\right}\\.\qquad28=100-20x\\.\qquad20x=100-28\\.\qquad20x=72\qquad|:20\\.\qquad\boxed{x=3,6}[/tex]
obliczamy h podstawiając wartość x do drugiego równania:
[tex]36=3,6^2+h^2\\36=12,96+h^2\\h^2=36-12,96\\h^2=23,04\\h=\sqrt{23,4}\\\boxed{h=4,8}[/tex]
Obliczamy pole trójkąta ABS:
[tex]P_{\Delta ABS}=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot4,8\\\\\boxed{P_{\Delta ABS}=24}[/tex]
Obliczamy pole trójkąta ABC:
[tex]P_{\Delta ABC}=6\cdot24\\\\\huge\boxed{P_{\Delta ABC}=144}[/tex]
