Rozkład dowolnego wielomianu możemy zapisać w postaci:
[tex]w(x) = p(x) *q(x) + r(x)[/tex]
gdzie: [tex]w(x),p(x),q(x), r(x)[/tex] to pewne wielomiany ( W szczególności ten ostatni nazywamy resztą z dzielenia wielomianu [tex]w(x)[/tex] przez [tex]p(x)[/tex] ).
By wyznaczyć wielomian:
- Najpierw przekształcimy nasze równanie:
[tex]w(x) - r(x) = p(x) *q(x)[/tex]
oraz podstawimy wielomiany z treści:
[tex](4 x^3 - 8x^2 +2ax+b) - (6x -24) = (x+1)(x-2) * q(x)[/tex] - Należy uprościć lewą stronę równania:
[tex]4x^3 - 8x^2 + (2a-6) x +(b+24)[/tex] - Z kolei na podstawie prawej strony równania wiemy, że pierwiastkami wielomianu na pewno są [tex]x=-1[/tex] oraz [tex]x=2[/tex], możemy więc je podstawić:
dla [tex]x=-1[/tex] mamy [tex]-4-8-(2a-6)+b+24 = 0[/tex]
dla [tex]x=2[/tex] mamy [tex]4*8-8*4+(2a-6)*2+b+24 = 0[/tex] - Dostajemy więc układ równań:
[tex]-2a + b+18 =0\\4a + b +12 = 0[/tex]
Odejmując stronami:
[tex]-6a = -6\\a=1[/tex]
Zaś stąd (np. z pierwszego równania):
[tex]b= -18+2 = -16[/tex] - Na tej podstawie nasz wielomian jest postaci:
[tex]w(x) = 4 x^3 - 8 x^2 + 2x -16[/tex]
By znaleźć resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian:
- Chcemy znaleźć resztę z dzielenia przez dwumian [tex]x+6[/tex], dzielimy więc po kolei (zaczynając od najwyższych potęg [tex]x[/tex]):
[tex]4x^3 - 8x^2 +2x -16 =\\= 4x^2*(x+6) - 24 x^2 -8 x^2 +2x -16=\\= 4x^2*(x+6) - 32 x^2 +2x -16 = \\= 4x^2*(x+6) -32x*(x+6) + 192 x +2x -16 = \\= 4x^2 * (x+6) - 30 x* (x+6) +194 x -16 = \\= 4x^2 * (x+6) - 30 x* (x+6) +194 * (x+6) - 194*6-16 = \\= (4x^2 -30x+194)*(x+6) - 1180[/tex] - Stąd szukana reszta wynosi [tex]-1180[/tex]
Alternatywną metodą na znalezienie reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian jest podstawienie odpowiadającego mu pierwiastka do wielomianu (w tym przypadku: [tex]x=-6[/tex]):
[tex]w(-6) = -4*216 -8*36 -2*6-16 = -(864+288+12+16)=-1180[/tex]
