Rozwiązane

Wykres funkcji f(x) = [tex]-\sqrt{x}[/tex] przekształcono przez symetrię środkową względem punktu (0,0), a następnie otrzymany wykres przesunięto o wektor [-1, 3] i otrzymano wykres funkcji g(x). Podaj dziedziny funkcji f(x) i g(x), napisz wzór funkcji g(x).

Odpowiedź :

Konrad509viz

[tex]D_f:x\geq0[/tex]

Funkcja [tex]f(x)[/tex] przekształcona przez symetrię środkową względem punktu [tex](0,0)[/tex] mas postać [tex]-f(-x)[/tex].

Funkcja [tex]f(x)[/tex], której wykres przesunięto o wektor [tex][a,b][/tex] ma postać [tex]f(x-a)+b[/tex].

Zatem, jeżeli [tex]f(x)=-\sqrt{x}[/tex], to

[tex]g(x)=-(-\sqrt {-(x-(-1)})+3=\sqrt{-x-1}+3[/tex].

[tex]D_g:-x-1\geq0\\D_g:x\leq-1[/tex]

Gharicviz

Cześć!

W symetrii środkowej względem punktu [tex](0;0)[/tex] współrzędne każdego punktu zmieniają się z [tex](x,y)[/tex] na [tex](-x,-y)[/tex], zatem [tex]S_(_0_;_0_)(x;y)=(-x;-y)[/tex].
Wynika stąd, że wzór funkcji [tex]f(x)=-\sqrt{x}[/tex]. której dziedziną jest [tex]\{x:x\geq 0\}[/tex], zmienia swoją postać do [tex]-y=-\sqrt{-x}[/tex], czyli [tex]y=\sqrt{-x}[/tex], którą nazwijmy [tex]h(x)[/tex].

Wykres funkcji [tex]h(x)[/tex] ulega translacji o wektor [tex][-1;3][/tex]. W translacji o wektor [tex]u=[a;b][/tex] współrzędne zmieniają się zgodnie z następującą zasadą: [tex]T_{u=[a;b]}(x;y)=(x+a;y+b)[/tex].
Wynika stąd, że wzór funkcji zmienia się na [tex]y=f(x-a)+b[/tex], co w przypadku naszej funkcji [tex]h(x)[/tex] spowoduje zmianę wzoru na [tex]\sqrt{-(x+1)}+3[/tex], co dla nas jest funkcją [tex]g(x)[/tex], której dziedziną jest [tex]\{x:-(x+1)\geq 0\} \Longrightarrow \{x:x\leq -1\}[/tex].

Pozdrawiam!

Viz Inne Pytanie