Dwa okręgi przecinają się w punktach A i B. Przez punkt A poprowadzono sieczną przecinającą dane okręgi w punktach Ci D. Przez punkty Ci D poprowadzono styczne do danych okręgów, które przecięły się w punkcie E. Wykaż, że na czworokącie BCED można opisać okrąg.
Proszę o wyjaśnienie wraz z rysunkiem.

By na czworokącie można było opisać okrąg, suma kątów naprzeciwległych musi równać się [tex]180^\circ[/tex]
Sporządzamy rysunek (poniżej).
Oznaczmy (zielony) kąt BAD przez [tex]\alpha[/tex]
Wtedy (żółty) kąt BSD ma miarę:
[tex]2*(180^\circ - \alpha)[/tex]
(ze względu na zależność między kątem wpisanym w okrąg a kątem środkowym opartym na tym samym łuku).
Trójkąt BSD jest równoramienny, stąd miara kąta BDS:
[tex]|\angle BDS| = \alpha - 90^\circ[/tex]
Ponieważ prosta DE jest styczna do okręgu, miara kąta EDS jest równa [tex]90^\circ[/tex]
Finalnie miara kąta BDE wynosi:
[tex]|\angle BDE | = \alpha[/tex]
Analogicznym rozumowaniem otrzymujemy, że miara kąta BCE:
[tex]|\angle BCE| = 180^\circ - \alpha[/tex]
Stąd:
[tex]|\angle BDE | +|\angle BCE | = \alpha + 180 ^\circ - \alpha = 180 ^\circ[/tex]
czyli na czworokącie BCED można opisać okrąg.

Warto zapamiętać!

By na czworokącie można było opisać okrąg suma naprzeciwległych kątów musi wynosić [tex]180^\circ[/tex]
By w czworokąt można było wpisać okrąg sumy par naprzeciwległych boków muszą być równe.
Kąt wpisany w okrąg jest dwukrotnie mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.