Skorzystamy ze wzoru na procent składany, na kapitał po n okresach rozliczeniowych:
[tex]K_k=K_p\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^n[/tex]
gdzie
[tex]K_k[/tex] - kapitał końcowy
[tex]K_p[/tex] - kapitał początkowy
[tex]r[/tex] - liczba procentów jednego okresu rozliczeniowego
[tex]n[/tex] - liczba okresów rozliczeniowych
Zwracamy uwagę na to, że kapitał początkowy się zmienia (co pół roku zwiększa się o 1000zł).
Zajmijmy się poszczególnymi półroczami.
Wówczas w każdym będziemy mieli 6 okresów rozliczeniowych (n = 6) oraz oprocentowanie w każdym okresie wyniesie 6% : 12 = 0,5% (r = 0,5).
Przyjmijmy oznaczenie:
[tex]p=\left(1+\dfrac{0,5}{100}\right)^6[/tex]
Kapitał końcowy po każdym półroczu:
Po pierwszym półroczu:
[tex]K_1=1000p[/tex]
Po drugim półroczu:
[tex]K_{3}=(1000p+1000)p=1000p(p+1)[/tex]
Po trzecim półroczu:
[tex]K_{3}=(1000p(p+1)+1000)p=1000p(p^2+p+1)[/tex]
Po czwartym półroczu:
[tex]K_4=(1000p(p^2+p+1)+1000)p=1000p(p^3+p^2+p+1)[/tex]
itd.
Możemy wywnioskować, że po czterdziestym półroczu kapitał końcowy będzie wyglądał następująco:
[tex]K_{40}=1000p(p^{39}+p^{38}+p^{38}+...+1)[/tex]
W nawiasie mamy sumę wyrazów ciągu geometrycznego, w którym
[tex]a_1=1,\ q=p[/tex]
Sumę n wyrazów ciągu geometrycznego wyrażamy wzorem:
[tex]S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}[/tex]
Stąd mamy
[tex]S_{40}=\dfrac{1(1-p^{40})}{1-p}=\dfrac{1-p^{40}}{1-p}[/tex]
Ostatecznie nasz kapitał końcowy będzie wyrażał się wyrażeniem:
[tex]K_k=1000p\cdot\dfrac{1-p^{40}}{1-p}[/tex]
Obliczmy wartość p:
[tex]p=\left(1+\dfrac{0,5}{100}\right)^6=1,126162419264[/tex]
Podstawiamy do naszego wyrażenia na kapitał końcowy i obliczamy wartość zaokrąglając wynik do dwóch miejsc po przecinku. Musimy tu posłużyć się kalkulatorem.
Ostatecznie otrzymujemy, że pan Nowak po 20 latach wypłaci
