Odpowiedź:
Można byłoby spróbować tak:
[tex]\lim_{n \to \infty} (\frac{3n}{\sqrt{n^2 +1} } - \frac{9n}{\sqrt[3]{n^4 +1} } ) = \lim_{n \to \infty} (\frac{3n\sqrt[3]{n^4+1} - 9n\sqrt{n^2 +1} }{\sqrt{n^2+1} *\sqrt[3]{n^4 +1} } ) = \\\\\= lim_{n \to \infty} (\frac{3n(\sqrt[3]{n^4+1} - 3\sqrt{n^2+1}) }{\sqrt{n^2+1} *\sqrt[3]{n^4 +1}} ) = \lim_{n \to \infty} (\frac{3n(\sqrt[3]{n^4+1} - 3\sqrt{n^2+1}) }{\sqrt{n^2+1} *\sqrt[3]{n^4 +1}} * \frac{\sqrt[3]{n^4+1} + 3\sqrt{n^2+1})}{\sqrt[3]{n^4+1} + 3\sqrt{n^2+1})} ) \\\\[/tex]
Po pomnożeniu przez 1 i zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia otrzymamy:
[tex]lim_{n \to \infty} (\frac{3n(\sqrt[3]{(n^4+1)^2} - 9(n^2+1)) }{\sqrt{n^2 +1} * \sqrt[3]{n^4+1}(\sqrt[3]{n^4+1} +3\sqrt{n^2+1} } ) = \frac{3n\sqrt[3]{(n^4+1)^2} -27n^3 -27n }{\sqrt{n^2 +1} * \sqrt[3]{n^4+1}(\sqrt[3]{n^4+1} +3\sqrt{n^2+1} }[/tex]
No i tutaj widzimy, że mianownik dąży do nieskończoności, ale licznik nam się nie skróci, zatem spróbujemy inaczej :))))))
[tex]\lim_{n \to \infty} (\frac{3n}{\sqrt{n^2 +1} } - \frac{9n}{\sqrt[3]{n^4 +1} } ) = \lim_{n \to \infty} (\frac{3n}{\sqrt{n^2 +1} }) - \lim_{n \to \infty} (\frac{9n}{\sqrt[3]{n^4 +1} } ) = \\\\= \lim_{n \to \infty} (\frac{3n}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n^2} } }) - \lim_{n \to \infty} ( \frac{\sqrt[3]{n^4} * \frac{9}{\sqrt[3]{n} } }{\sqrt[3]{n^4}*\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^4} } } )[/tex]
Z pierwszej granicy otrzymujemy 3 (dzieląc licznik i mianownik przez n), a z drugiej 0 (po skróceniu licznik dąży do 0)
Zatem ostatecznie:
[tex]\lim_{n \to \infty} (\frac{3n}{\sqrt{n^2 +1} } - \frac{9n}{\sqrt[3]{n^4 +1} } ) = 3 - 0 = 3[/tex]
Pozdrawiam:))
