Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{x=\dfrac{3}{2}}\\\boxed{x\in\left(-\infty,2\right>\ \cup\ \{-1\}\ \cup\left<\dfrac{3}{2};\infty\right)}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli liczby 1 i -2 są pierwiastkami wielomianu W(x), to wartości liczbowe tego wielomianu dla tych liczb wynoszą 0: W(1) = W(-2) = 0
[tex]W(x)=2x^3-(2m+1)x^2+kx+6[/tex]
Podstawiamy x = 1 i x = -2 oraz W(x) = 0 i rozwiązujemy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}2\cdot1^3-(2m+1)\cdot1^2+k\cdot1+6=0\\2\cdot(-2)^3-(2m+1)\cdot(-2)^2+k\cdot(-2)+6=0\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}2-2m-1+k+6=0\\-16-8m-4-2k+6=0\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}-2m+k+7=0&|\cdot2\\-8m-2k-14=0\end{array}\right\\\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}-4m+2k+14=0\\-8m-2k-14=0\end{array}\right}\\.\qquad-12m=0\qquad|:(-12)\\.\qquad\boxed{m=0}[/tex]
podstawiamy do jednego z równań:
[tex]-2\cdot0+k+7=0\\k+7=0\qquad|-7\\\boxed{k=-7}[/tex]
Stąd mamy:
[tex]W(x)=2x^3-(2\cdot0+1)x^2-7k+6\\\\W(x)=2x^3-x^2-7x+6[/tex]
Niech [tex]p[/tex] będzie trzecim pierwiastkiem równania.
Przedstawmy wielomian w postaci iloczynu:
[tex]W(x)=2(x-1)(x+2)(x-p)[/tex]
wymnóżmy:
[tex]W(x)=(2x-2)(x^2-px+2x-2p)\\\\W(x)=2x^3-2px^2+4x^2-4px-2x^2+2px-4x+4p\\\\W(x)=2x^3+(-2p+4-2)x^2+(-4p+2p-4)x+4p\\\\W(x)=2x^3+(2-2p)x^2+(-2p-4)x+4p[/tex]
Z równości wielomianów:
[tex]2x^3+(2-2p)x^2+(-2p-4)x+4p=2x^3-x^2-7x+6[/tex]
mamy równości:
[tex]2-2p=-1\qquad-2\\-2p-4=-7\qquad|+4\\4p=6\qquad|:4\\\\-2p=-3\qquad|:(-2)\\-2p=-3\qquad|:(-2)\\p=\dfrac{6}{4}\\\\\boxed{p=\dfrac{3}{2}}[/tex]
Stąd trzecim pierwiastkiem wielomianu W(x) jest
[tex]x=\dfrac{3}{2}[/tex]
Mamy jeszcze drugą część zadania:
[tex]W(x)(x-1)\geq0[/tex]
podstawiamy W(x) w postaci iloczynu:
[tex]2(x-1)(x+2)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)(x-1)\geq0\\\\2(x-1)^2(x+2)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\geq0[/tex]
fala znaków w załączniku
x = 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, stąd krzywa odbija się
bierzemy dowolny argument z lewej strony, np x = -3. Podstawiamy do nierówności i sprawdzamy tylko znak:
(+)(-)(-) > 0
krzywa od -∞ jest powyżej osi
Odczytujemy rozwiązanie:
[tex]x\in\left(-\infty,2\right>\ \cup\ \{-1\}\ \cup\left<\dfrac{3}{2};\infty\right)[/tex]
