W ciągu [tex]1 \min[/tex] rozpadnie się [tex]8,24 * 10^{-10}[/tex] atomów radu [tex]^{226}_{88} Ra[/tex]
Przekształcając wzór opisujący rozpad naturalny:
[tex]\Delta N(t) = - \lambda N(t) \Delta t\\\frac{\Delta N(t)}{\Delta t} = - \lambda N(t)[/tex]
Powyższe równanie ma po lewej stronie pochodną po czasie pewnej funkcji [tex]N(t)[/tex], a po prawej stronie wyraz proporcjonalny do [tex]N(t)[/tex]. Istnieje tylko jedna funkcja, która może spełnić takie równanie i jest to funkcja eksponencjalna:
[tex]N(t) = N_0 * e^{-\lambda t}[/tex]
Wtedy wzór na okres połowicznego rozpadu to:[tex]N(T_{1/2}) = \frac{1}{2} N_0 = N_0 * e^{-\lambda T_{1/2}}[/tex], stąd zaś dostaniemy:
[tex]T_{1/2}=\frac{ln 2}{\lambda}[/tex], czyli: [tex]\lambda=\frac{ln 2}{T_{1/2}}[/tex]
Gdy chcemy znaleźć zmianę liczby atomów po określonym czasie policzymy: [tex]N(t) = N_0 * \exp{(- \frac{ln 2}{T_{1/2}} t)} =N_0 \exp{(- \frac{t}{T_{1/2}} \ln 2)}[/tex]. Dla podanego czasu [tex]t=1\min[/tex] oraz [tex]T_{1/2} = 1600 lat = 840960000 \min[/tex] (oraz przyjmując [tex]\ln 2 = 0,693147[/tex]) dostajemy:
[tex]\frac{\Delta N}{N_0} = \frac{N_0 - N(t)}{N_0} = 1 - \exp{(- \frac{t}{T_{1/2}} \ln 2)} = 8,24 * 10^{-10}[/tex]
