W zadaniu warto pamiętać, że jeżeli kwadrat jest opisany na kole, to jego bok a=2r.
Jeżeli kwadrat jest wpisany w koło, to promień koła r jest równy połowie przekątnej kwadratu [tex]r=\frac{1}{2} d=\frac{1}{2} a\sqrt{2}[/tex].
1. Koło wpisane w kwadrat (tzn. kwadrat opisany na kole). Z podanego pola wyznaczamy promień:
[tex]P=\pi\cdot r^2=100\pi[/tex]
[tex]r^2=100[/tex]
[tex]r=10[/tex]
Wyznaczamy bok kwadratu:
[tex]a=2r=20[/tex]
Obliczamy pole i obwód kwadratu:
[tex]P=a^2=400[/tex]
[tex]O=4a=80[/tex]
2. Ponownie mamy kwadrat opisany na kole.
Ze wzoru na obwód koła wyznaczamy promień:
[tex]O=2\pi r=60\pi[/tex]
[tex]2r=60[/tex]
[tex]r=30[/tex]
Obliczamy bok kwadratu:
[tex]a=2r=60[/tex]
Obliczamy obwód kwadratu:
[tex]O=4a=240[/tex]
3. Kwadrat wpisany w koło. wiemy, że promień to połowa przekątnej, znamy tez wzór na sama przekątną:
[tex]r=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2}[/tex]
[tex]10=\frac{a\sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]20=a\sqrt{2}[/tex]
[tex]a=\frac{20}{\sqrt{2} }\cdot\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =\frac{20\sqrt{2} }{2} =10\sqrt{2}[/tex]
Obliczamy pole kwadratu:
[tex]P=a^2=(10\sqrt{2})^2=100\cdot2=200[/tex]
4. Mamy dwa kwadraty, najpierw ten opisany na kole. Średnica koła to d=2r. Wyznaczmy promień r:
[tex]d=2r=20[/tex]
[tex]r=10[/tex]
Bok kwadratu:
[tex]a=2r=20[/tex]
Pole pierwszego kwadratu:
[tex]P=a^2=400[/tex]
Teraz drugi kwadrat- wpisany w koło. Mamy podany promień, wiemy że to jest połowa przekątnej kwadratu:
[tex]r=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}[/tex]
[tex]8=\frac{a\sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]16=a\sqrt{2}[/tex]
[tex]a=\frac{16}{\sqrt{2} }\cdot\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }=8\sqrt{2}[/tex]
Pole drugiego kwadratu:
[tex]P=a^2=64\cdot2=128[/tex]
O ile większe jest pole pierwszego kwadratu od pola drugiego kwadratu?
[tex]400-128=272[/tex]
Odp. Jest większe o 272 cm kwadratowe.
