Zadanie 1.
[tex]y=-\frac{1}{4}x^2+5x+75[/tex]
Znajdźmy miejsca zerowe tej funkcji.
[tex]\Delta=b^2-4ac\\\Delta=5^2-4*(-\frac{1}{4})*75=25+75=100\\\sqrt\Delta=10\\x_1=\frac{-5-10}{2*(-\frac{1}{4})}=-15*(-2)=30\\x_2=\frac{-5+10}{2*(-\frac{1}{4})}=5*(-2)=-10[/tex]
Zatem postać iloczynowa ma postać:
[tex]y=a(x-x_1)(x-x_2)\\y=-\frac{1}{4}(x-30)(x+10)[/tex]
Zadanie 2.
Oś symetrii ma postać x = p (to samo p co w wierzchołku), stąd
[tex]p=-2[/tex]
Jednym z miejsc zerowych jest
[tex]x_1=-5[/tex]
Policzmy drugie miejsce zerowe ze wzoru
[tex]p=\frac{x_1+x_2}{2}\\-2=\frac{-5+x_2}{2}\ |*2\\-4=-5+x_2\\x_2=1[/tex]
Zapiszmy wzór funkcji w postaci iloczynowej.
[tex]f(x)=a(x+5)(x-1)[/tex]
Współczynnik a policzymy, podstawiając punkt (0,1).
[tex]1=a*(0+5)*(0-1)\\1=a*5*(-1)\\1=-5a\ |:(-5)\\a=-\frac{1}{5}[/tex]
Zatem funkcja kwadratowa ma postać iloczynową:
[tex]f(x)=-\frac{1}{5}(x+5)(x-1)[/tex]
Co prawda w treści zadania nie ma wymogu, aby była to postać ogólna, ale na wszelki wypadek ją policzmy.
[tex]f(x)=-\frac{1}{5}(x+5)(x-1)=-\frac{1}{5}(x^2-x+5x-5)=-\frac{1}{5}(x^2+4x-5)=-\frac{1}{5}x^2-\frac{4}{5}x+1[/tex]
Zadanie 3.
[tex]f(x)=2x^2+4x-6[/tex]
Aby naszkicować wykres tej funkcji znajdźmy miejsca zerowe (o ile istnieją), wierzchołek i punkt przecięcia z osią OY.
[tex]\Delta=4^2-4*2*(-6)=16+48=64\\\sqrt\Delta=8\\x_1=\frac{-4-8}{2*2}=-3\\x_2=\frac{-4+8}{2*2}=1[/tex]
[tex]p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2*2}=-1\\q=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{64}{4*2}=-8\\W=(-1,-8)[/tex]
[tex]f(0)=2*0^2+4*0-6=-6[/tex]
Wykres w załączeniu.
Zadanie 4.
[tex]y=\sqrt{2x^2+3x-2}\\2x^2+3x-2\geq 0\\\Delta=3^2-4*2*(-2)=9+16=25\\\sqrt\Delta=5\\x_1=\frac{-3-5}{2*2}=-2\\x_2=\frac{-3+5}{2*2}=\frac{1}{2}\\x\in(-\infty,-2>\cup<\frac{1}{2},+\infty)[/tex]
Rysunek w załączeniu.
Zadanie 5.
[tex]Obw=600\ cm^2=60\ dm\\2a+2b=60\ |:2\\a+b=30\\b=30-a\\P=161\ dm^2\\ab=161\\a(30-a)=161\\30a-a^2-161=0\\-a^2+30a-161=0\ |*(-1)\\a^2-30a+161=0\\\Delta=(-30)^2-4*1*161=900-644=256\\\sqrt\Delta=16\\a_1=\frac{30-16}{2}=7\\a_2=\frac{30+16}{2}=23\\b_1=30-7=23\\b_2=30-23=7[/tex]
Prostokąt ma wymiary 7 dm i 23 dm.
