Odpowiedź:
[tex]\boxed{a=4\sqrt{2+\sqrt{2} } ~~, ~~b=4\sqrt{2-\sqrt{2} } }[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wprowadzam oznaczenia ( rysunek w załączniku):
a, b - długości boków prostokąta
d - długości przekątnych prostokąta ( przekątne prostokąta są równej długości )
Dane:
α = 45° - kąt między przekątnymi prostokąta
P = 16√2 [j²]
Korzystać będziemy ze wzoru na pole czworokąta wypukłego:
P = 1/2 × d₁ × d₂ × sinα , gdzie α jest kątem między przekątnymi d₁ , d₂.
[tex]P=\dfrac{1}{2} \cdot d\cdot d\cdot sin\alpha \\\\P=\dfrac{1}{2} \cdot d^{2} \cdot sin\alpha ~~\land ~~P=16\sqrt{2} ~~\land~~\alpha =45^{o} \\\\\dfrac{1}{2} \cdot d^{2} \cdot sin45^{o}=16\sqrt{2}~~\land~~sin 45^{o}=\dfrac{\sqrt{2} }{2} \\\\\dfrac{1}{2} \cdot d^{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2}=16\sqrt{2} \\\\d^{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{4}=16\sqrt{2}~~\mid ~\div ~\dfrac{\sqrt{2} }{4} \\\\d^{2} =64~~\land~~d > 0~~\Rightarrow~~d=8~[j][/tex]
Korzystamy z Twierdzenia cosinusów , pozwoli nam to obliczyć długości boków prostokąta a oraz b . Znamy miary kątów między przekątnymi prostokąta i wiemy , że przekątne w prostokącie przecinają się w połowie.
[tex]I.~~a=?\\\\a^{2} =(\dfrac{d}{2} )^{2} +(\dfrac{d}{2} )^{2} -2\cdot \dfrac{d}{2} \cdot \dfrac{d}{2} \cdot cos135^{o} ~~\land ~~\dfrac{d}{2} =4[j]\\\\a^{2} =4^{2} +4^{2} -2\cdot 4\cdot 4 \cdot cos135^{o} \\\\a^{2}=16+16-32\cdot cos135^{o}\\\\ cos135^{o}=cos(90^{o} +45^{o} )=-sin45^{o} =-\dfrac{\sqrt{2} }{2} \\\\a^{2} =32-32\cdot (-\dfrac{\sqrt{2} }{2})\\\\a^{2} =32+16\sqrt{2} \\\\a^{2} =16(2+\sqrt{2} )~~\land~~a > 0~~\Rightarrow~~a=\boxed{4\sqrt{2+\sqrt{2} }}[/tex]
[tex]II.~~b=?\\\\b^{2} =(\dfrac{d}{2} )^{2} +(\dfrac{d}{2} )^{2} -2\cdot \dfrac{d}{2} \cdot \dfrac{d}{2} \cdot cos45^{o} ~~\land ~~\dfrac{d}{2} =4[j]\\\\b^{2} =4^{2} +4^{2} -2\cdot 4\cdot 4 \cdot cos45^{o} \\\\b^{2} =16+16-32\cdot cos45^{o} ~~\land~~cos45^{o} =\dfrac{\sqrt{2} }{2} \\\\b^{2} =32-32\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2}\\\\b^{2} =32-16\sqrt{2} \\\\b^{2} =16(2-\sqrt{2} )~~\land~~b > 0~~\Rightarrow~~b=\boxed{4\sqrt{2-\sqrt{2} } }[/tex]
Odp: Szukane miary długości prostokąta wynoszą: [tex]4\sqrt{2+\sqrt{2} } ~~oraz~~4\sqrt{2-\sqrt{2} }[/tex].
