1.
Z własności trójkąta wpisanego w okrąg wynika, że środek okręgu wyznacza miejsce przecięcia się symetralnych boków.
Wykonujemy rysunek pomocniczy ( w załączniku) i najpierw obliczamy długość odcinka x (jest to fragment wysokości).
Z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]2^2+x^2=3^2[/tex]
[tex]x^2=9-4=5[/tex]
[tex]x=\sqrt{5}[/tex]
Wysokość trójkąta jest równa [tex]h=3+\sqrt{5}[/tex]
Bok trójkąta obliczamy ponownie z Pitagorasa:
[tex]2^2+(3+\sqrt{5})^2=b^2[/tex]
[tex]4+9+6\sqrt{5}+5=b^2[/tex]
[tex]18+6\sqrt{5}\approx18+6\cdot2,24=31,44=b^2[/tex]
[tex]b\approx5,61[/tex]
Sumujemy wszystkie boki trójkąta aby otrzymać obwód:
[tex]O=5,61+5,61+4=15,22cm[/tex]
Obwód trójkąta wynosi ok. 15,22 cm.
Zad. 4.
Czworokąt wpisany w okrąg ma własność: suma przeciwległych kątów jest równa i wynosi 180 stopni.
Nie wiemy, które pary kątów są przeciwległe, więc obliczymy wszystkie możliwe przypadki i wybierzemy ten, gdzie brakujący kąt x będzie największy.
Przypadek I pierwsza para kątów to 2a i 3a
[tex]2\alpha +3\alpha =180^\circ[/tex]
[tex]5\alpha =180^\circ[/tex]
[tex]\alpha =36^\circ[/tex]
Wstawiamy do kątów:
[tex]2\alpha =72^\circ,3\alpha =108^\circ,7\alpha =252^\circ[/tex] - trzeci kąt wyszedł zbyt duży, aby mógł być w takim czworokącie.
Przypadek II druga para kątów to 2a i 7a
[tex]2\alpha +7\alpha =180^\circ[/tex]
[tex]9\alpha =180^\circ[/tex]
[tex]\alpha =20^\circ[/tex]
Wstawiamy:
[tex]2\alpha =40^\circ,3\alpha =60^\circ,7\alpha =140^\circ[/tex]
Wówczas kąt x ma miarę
[tex]x=360^\circ-40^\circ-60^\circ-140^\circ=120^\circ[/tex]
Odrzucamy ten przypadek, ponieważ brakujący kąt nie jest największym w tej figurze.
Przypadek III trzecia para kątów to 3a i 7a
[tex]3\alpha +7\alpha =180^\circ[/tex]
[tex]10\alpha =180^\circ[/tex]
[tex]\alpha =18^\circ[/tex]
Wstawiamy:
[tex]2\alpha =36^\circ,3\alpha =54^\circ,7\alpha =126^\circ[/tex]
Wówczas czwarty kąt x ma miarę
[tex]x=360^\circ-54^\circ-126^\circ-35^\circ=144^\circ[/tex]
Jest to największy ze wszystkich kątów, jest to prawidłowa odpowiedź.
Największy kąt czworokąta ma miarę 144 stopni.
