Odpowiedź:
[tex]|AB|=\frac{6\sqrt{442}}{13}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rozwiązanie podzielimy na 3 etapy.
ETAP 1.
Wyznaczenie długości |AP| z tw. o stycznej i siecznej.
[tex]|AP|^2=|PB|*|PC|\\|AP|^2=17*26\\|AP|^2=442\\|AP|=\sqrt{442}[/tex]
ETAP 2.
Skorzystanie z tw. cosinusów w trójkącie APC celem policzenia cosinusa kąta [tex]\alpha[/tex].
[tex]|AP|^2=|AC|^2+|PC|^2-2|AC||PC|\cos\alpha\\\\(\sqrt{442})^2=12^2+26^2-2*12*26*\cos\alpha\\\\442=144+676-624\cos\alpha\\\\624\cos\alpha=378\\\\\cos\alpha=\frac{378}{624}\\\\\cos\alpha=\frac{63}{104}[/tex]
ETAP 3.
Skorzystanie z tw. cosinusów w trójkącie ACB celem policzenia długości boku AB.
[tex]|BC|=|PC|-|PB|\\|BC|=26-17=9\\\\|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2-2|AC||BC|\cos\alpha\\\\|AB|^2=12^2+9^2-2*12*9*\frac{63}{104}\\\\|AB|^2=144+81-\frac{1701}{13}\\\\|AB|^2=225-130\frac{11}{13}\\\\|AB|^2=94\frac{2}{13}\\\\|AB|^2=\frac{1224}{13}\\\\|AB|=\sqrt{\frac{1224}{13}}=\frac{6\sqrt{34}}{\sqrt{13}}*\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{442}}{13}[/tex]
